Rădăcini din unitate

Rădăcinile a n- a ale unității sunt rădăcinile complexe ale polinomului , unde . Cu alte cuvinte, acestea sunt numere complexe, a căror putere a n- a este egală cu 1. În algebra generală , rădăcinile unui polinom sunt, de asemenea, considerate nu numai într-un complex, ci și într-un alt câmp arbitrar , a cărui caracteristică nu este o divizor al gradului polinomului [1] . $x^n-1$ $n\geqslant 1$ $x^{n}-1$ $p$ $n$

Rădăcinile unității sunt utilizate pe scară largă în matematică, în special în teoria numerelor , transformata Fourier rapidă [2] , teoria extensiilor de câmp , teoria construcțiilor cu busole și riglă , reprezentări de grup .

Prezentare

Reprezentăm unitatea complexă în formă trigonometrică:

1=\cos 0+i\sin 0.

Apoi, conform formulei Moivre , obținem o expresie pentru -a rădăcină a gradului al n -lea de unitate : $k$ $Regatul Unit}$

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n)}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}),\quad k=0,1,\ puncte ,n-1.

Rădăcinile unității pot fi reprezentate și în formă exponențială:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots, n-1.

Din aceste formule rezultă că rădăcinile a n- a ale unității sunt întotdeauna exact și toate sunt diferite. $n$

Exemple

Rădăcinile cubice ale unității:

\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}} \dreapta\}.

A patra rădăcină a unității:

\left\{1,+i,-1,-i\right\}.

Pentru a 5-a rădăcină, există 4 generatoare, puterile fiecăruia dintre ele acoperă toate rădăcinile gradului 5:

{\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \))=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}} {8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.

Pentru a șasea rădăcină, există doar două generatoare ( și ): $tu_{1}$ $u_{5}$

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\} .

Proprietăți

Proprietăți geometrice

Modulul fiecărei rădăcini este 1. În planul complex , rădăcinile unității formează vârfurile unui poligon regulat înscris în cercul unitar . Unul dintre vârfuri este întotdeauna o unitate complexă. Pot exista fie două rădăcini reale, dacă sunt par (una și minus unu), fie una (una), dacă sunt impare. În orice caz, există un număr par de rădăcini nereale , ele sunt situate simetric față de axa orizontală. Acesta din urmă înseamnă că dacă este o rădăcină a unității, atunci numărul său conjugat este și o rădăcină a unității. $1+0i.$ $n$ $n$ $Regatul Unit}$ ${\overline {u_{k)})$

Fie M un punct arbitrar pe cercul unitar și Atunci suma pătratelor distanțelor de la M la toate rădăcinile a-lea de unitate este [3] . $n>1.$ $n$ $2n$

Proprietăți algebrice

Rădăcinile unității sunt numere întregi algebrice .

Rădăcinile unității formează, prin înmulțire, un grup comutativ de ordin finit . În special, orice putere întreagă a unei rădăcini a unității este, de asemenea, o rădăcină a unității. Elementul invers pentru fiecare element al acestui grup coincide cu conjugatul său. Elementul neutru al grupului este unitatea complexă. $n$

Grupul de rădăcini ale unității este izomorf cu grupul aditiv al claselor de reziduuri, rezultă că este un grup ciclic ; ca generator ( antiderivat ) se poate lua orice element al cărui indice este coprim cu . $\mathbb {Z} _{n}.$ $Regatul Unit}$ $k$ $n$

Consecințe:
- elementul este întotdeauna un primitiv (este adesea numit rădăcina principală a unității); $tu_{1}$
- dacă este un număr prim , atunci gradele oricărei rădăcini, cu excepția , acoperă întregul grup (adică toate rădăcinile, cu excepția , sunt antiderivate); $n$ $\pm 1$ $\pm 1$
- numărul de rădăcini primitive este , unde este funcţia Euler . $\varphi (n)$ $\varphi$

Dacă , atunci pentru orice rădăcină primitivă a unității sunt valabile următoarele formule : $n>1$ $u$

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,

\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.

Câmpuri circulare

Câmpul circular , sau câmpul de împărțire a unui cerc de gradul n , este un câmp generat prin adăugarea la câmpul numerelor raționale a rădăcinii primitive a gradului al n -lea de unitate . Câmpul cerc este un subcâmp al câmpului de număr complex; conține toate rădăcinile a n- a ale unității, precum și rezultatele operațiilor aritmetice asupra acestora. $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ $\mathbb {Q}$ $u$

Studiul câmpurilor circulare a jucat un rol semnificativ în crearea și dezvoltarea teoriei numerelor întregi algebrice , a teoriei numerelor și a teoriei Galois .

Exemplu: este format din numere complexe de forma , unde sunt numere raționale. $K_{3}$ $a+b{\sqrt {3}}\,i$ $a,b$

Teorema Kronecker–Weber : Fiecare extensie finită abeliană a câmpului numerelor raționale este conținută într-un câmp circular.

Generalizări

Rădăcinile unității de gradul al n -lea pot fi definite nu numai pentru numere complexe, ci și pentru orice alt câmp algebric ca soluție a ecuației , unde este unitatea câmpului . Rădăcinile unității există în orice câmp și formează un subgrup al grupului multiplicativ al câmpului . În schimb, orice subgrup finit al unui grup de câmp multiplicativ conține doar rădăcini din unitate și este ciclic [4] . $K$ $x^{n}=1$ $unu$ $K$ $K$ $K$

Dacă caracteristica câmpului este diferită de zero, atunci grupul de rădăcini din unitate, împreună cu zero, formează un câmp finit .

Istorie

Utilizarea pe scară largă a rădăcinilor unității ca instrument de cercetare a fost începută de Gauss . În monografia sa „ Investigații aritmetice ” (1801), el a rezolvat pentru prima dată problema antică a împărțirii unui cerc în n părți egale cu o busolă și o linie dreaptă (sau, ceea ce este același, a construirii unui poligon regulat cu n laturi). Folosind rădăcinile unității, Gauss a redus problema la rezolvarea ecuației diviziunii cercului:

x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.

Raționamentul suplimentar al lui Gauss a arătat că problema are o soluție numai dacă n poate fi reprezentat ca . Abordarea gaussiană a fost folosită mai târziu de Lagrange și Jacobi . Cauchy a aplicat rădăcinile unității la studiul unei probleme mai generale de rezolvare a ecuațiilor algebrice în multe necunoscute (1847) [5] . $2^{2^{r}}+1$

Noi aplicații ale rădăcinilor unității au fost descoperite după crearea algebrei abstracte la începutul secolului al XX-lea . Emmy Noether și Emil Artin au folosit această noțiune în teoria extensiilor de câmp și o generalizare a teoriei Galois [6] .

Vezi și

Literatură

Bourbaki N. Algebră. Polinoame și câmpuri. Grupuri ordonate. - M . : Nauka, 1965. - S. 188 și mai departe. — 299 p.
Van der Waerden B. L. Algebră. Definiții, teoreme, formule . - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Arhivat pe 4 martie 2016 la Wayback Machine
Rădăcină // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 15.
Milne, James S. Teoria algebrică a numerelor . Note de curs (1998). Arhivat din original pe 2 aprilie 2012. (nedefinit)

Link -uri

Rădăcinile a n-a complexe ale unității și soluția ecuațiilor.

Note

↑ Bourbaki, 1965 , p. 188-189.
↑ Transformată Fourier discretă . Consultat la 9 aprilie 2013. Arhivat din original pe 18 iunie 2013. (nedefinit)
↑ Duzhin S. V., Chebotarevskii B. D. De la ornamente la ecuații diferențiale. O introducere populară în teoria grupurilor de transformare. - Minsk: Şcoala superioară, 1988. - S. 34. - 253 p. - (Lumea științei distractive). — ISBN 5-339-00101-6 .
↑ Enciclopedia de matematică, 1982 .
↑ Vileitner G. Istoria matematicii de la Descartes la mijlocul secolului al XIX-lea . - M. : GIFML, 1960. - S. 87-89, 380 .. - 468 p.
↑ Van der Waerden. Algebră, 2004 , p. 150-155 și următoarele.

Numerele algebrice
Soiuri	numere întregi algebrice noduri Chebyshev numere constructive întregul lui Eisenstein numere întregi gaussiene Inel Kummer numerele Perron Numerele Piso-Vijayaraghavan Iraționalitate pătratică ℚ Rădăcini din unitate Numerele Salem
Specific	Conway constantă 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2