Teorema lui Abel privind imposibilitatea de rezolvare a ecuațiilor în radicali

Teorema Abel-Ruffini afirmă că o ecuație de grad algebric general este de nerezolvat în radicali [1] .

Detalii

Teoria Galois descrie grupul de permutare al rădăcinilor polinoamelor . Dovada modernă a teoremei se bazează pe următoarele două fapte:

• Când gradul polinomului este mai mare sau egal cu 5 , grupul Galois al polinomului este grupul de permutare [2] .
• Când grupul de permutare nu este rezolvabil [3] .

Este ușor de observat că o parte semnificativă a dovezii este „ascunsă” în teoria Galois.

Teorema Abel-Ruffini nu afirmă că ecuația generală de gradul al-lea la nu are soluție. Dacă sunt permise soluții complexe , atunci teorema fundamentală a algebrei garantează existența soluțiilor. Esența teoremei Abel-Ruffini se rezumă la faptul că pentru ecuațiile arbitrare de grad mai mare decât al patrulea este imposibil să se indice o formulă explicită pentru soluții, adică o formulă care definește toate soluțiile posibile și conține doar operații aritmetice și rădăcini de un grad arbitrar.

Soluțiile la astfel de ecuații pot fi obținute cu orice precizie dorită folosind metode numerice precum metoda lui Newton .

În plus, rădăcinile unor ecuații de grade superioare pot fi exprimate în radicali. De exemplu, ecuația are o rădăcină .

Deși o ecuație chintică este de nerezolvat în radicali, există formule pentru rădăcinile sale folosind funcții theta .

Formule explicite pentru puteri mai mici de 5

Pentru ecuațiile cu un grad mai mic decât al cincilea, puteți specifica o formulă explicită de soluție. Acest fapt poate fi privit ca „a doua parte” sau ca „inversa” teorema Abel-Ruffini. Deși această afirmație nu rezultă din teorema Abel-Ruffini, este adevărată: vezi formulele lui Cardano (pentru ecuațiile de gradul trei) și Ferrari (pentru al patrulea) [4] .

Istorie

Prima demonstrație a teoremei a fost publicată în 1799 de Ruffini . Au existat mai multe inexactități în dovadă. În 1824 , Abel a publicat o dovadă completă .

Demonstrațiile lor s-au bazat pe ideile lui Lagrange de a permuta rădăcinile unei ecuații. Mai târziu, aceste idei au fost dezvoltate în teoria Galois , care a permis formularea enunțului modern de demonstrații și a servit ca punct de plecare în dezvoltarea algebrei abstracte .

Tipuri de ecuații rezolvabile

Deși teorema afirmă că ecuațiile nu au o formulă generală de rezolvat, unele tipuri de ecuații de grad înalt admit soluții exacte. Printre ei:

• ecuație omogenă
• Ecuația de întoarcere

Vezi și

• Teoria Galois
• Bringa Root
• Metoda lui Lily este o metodă grafică pentru găsirea rădăcinilor reale ale polinoamelor de grad arbitrar.
• Rezolvantul unei ecuații algebrice
• Ecuația gradului al șaselea

Note

1. ↑ Alekseev, 2001 , p. 112.
2. ↑ Alekseev, 2001 , p. 187.
3. ↑ Alekseev, 2001 , p. cincizeci.
4. ↑ Alekseev, 2001 , p. 9-12.

Literatură

• Alekseev, V. B. Teorema lui Abel în probleme și soluții. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 p. -ISBN 5-900916-86-3. (Rusă)
• Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Divertisment matematic. Cursul 5. - MTSNMO, 2011. - 512 p. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Rusă)
• Bosch, S. Algebra  (germană) . — 6. Auflaj. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
• Dehn, E. Ecuații algebrice: o introducere în teoriile lui Lagrange și Galois  (engleză) . — New York: Columbia University Press , 1930.
• Fraleigh, JB Unprim curs de algebră abstractă  . — Ediția a șaptea. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
• Stewart , I. Teoria Galois . - A doua editie. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Link -uri

• Weisstein, Teorema imposibilității lui Eric W. Abel  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Teorema lui Eric W. Galois  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• David Terr și Eric W. Weisstein. Grupul Galois  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Solvable Group  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .