Rădăcina polinomială

Rădăcina unui polinom (nu este identic zero )

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}

peste un câmp este un element (sau un element al extensiei câmpului ) astfel încât să fie îndeplinite următoarele două condiții echivalente : $K$ $c\in K$ $K$

polinomul dat este divizibil cu polinomul ; $xc$
înlocuirea unui element cu inversează ecuația $c$ $X$

a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}=0

în identitate , adică valoarea polinomului devine zero.

Echivalența celor două formulări rezultă din teorema lui Bézout . În diverse surse, oricare dintre cele două formulări este aleasă ca definiție, în timp ce cealaltă este dedusă ca teoremă.

Se spune că o rădăcină are multiplicitate dacă polinomul în cauză este divizibil cu și nu este divizibil cu . De exemplu, polinomul are o singură rădăcină egală cu multiplicitatea . Expresia „rădăcină multiplă” înseamnă că multiplicitatea rădăcinii este mai mare decât unu. $c$ $m$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ $x^{2}-2x+1$ $unu$ $2$

Se spune că un polinom are rădăcini fără a ține cont de multiplicitate dacă fiecare dintre rădăcinile sale este luată în considerare atunci când se numără o dată. Dacă fiecare rădăcină este numărată de un număr de ori egal cu multiplicitatea ei, atunci ei spun că calculul se efectuează ținând cont de multiplicitatea . $n$

Proprietăți

Numărul de rădăcini ale unui polinom cu multiplicitate nu este mai mic decât fără multiplicitate.
Numărul de rădăcini ale unui polinom de grad nu depășește chiar dacă rădăcinile multiple sunt numărate ținând cont de multiplicitate. $n$ $n$
Fiecare polinom cu coeficienți complexi are cel puțin o rădăcină complexă ( Teorema fundamentală a algebrei ). $p(x)$
- O afirmație similară este adevărată pentru orice câmp închis algebric în locul câmpului de numere complexe (prin definiție).
- Mai mult, un polinom cu coeficienți reali poate fi scris ca $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

unde - (în cazul general, complexe) rădăcini ale polinomului , eventual cu repetări, în timp ce între rădăcinile polinomului sunt egale, atunci valoarea lor comună se numește rădăcină multiplă , iar numărul este multiplicitatea acestui rădăcină.

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}

p(x)

Numărul de rădăcini complexe ale unui polinom cu coeficienți de grad complex , ținând cont de multiplicitate, este egal cu . Mai mult, toate rădăcinile pur complexe (dacă există) ale unui polinom cu coeficienți reali pot fi împărțite în perechi de conjugate de aceeași multiplicitate. Astfel, un polinom de grad par cu coeficienți reali poate avea, ținând cont de multiplicitate, doar un număr par de rădăcini reale, iar unul impar poate avea doar un număr impar. $n$ $n$
Rădăcinile unui polinom sunt legate de coeficienții săi prin formulele Vieta .

Găsirea rădăcinilor

Metoda de a găsi rădăcinile polinoamelor liniare și pătratice într-o formă generală, adică metoda de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice , era cunoscută în lumea antică. Căutarea unei formule pentru soluția exactă a ecuației generale de gradul al treilea a continuat mult timp, până când a fost încununată cu succes în prima jumătate a secolului al XVI-lea în lucrările lui Scipio del Ferro , Niccolo Tartaglia și Gerolamo Cardano . . Formulele pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice și cubice au făcut relativ ușor obținerea de formule pentru rădăcinile unei ecuații de gradul al patrulea .

Faptul că rădăcinile unei ecuații generale de gradul al cincilea și mai sus nu sunt exprimate folosind funcții raționale și radicali ai coeficienților (adică ecuațiile în sine nu sunt rezolvabile în radicali ) a fost dovedit de matematicianul norvegian Niels Abel în 1826 . [1] . Acest lucru nu înseamnă deloc că rădăcinile unei astfel de ecuații nu pot fi găsite. În primul rând, pentru unele combinații speciale de coeficienți, rădăcinile ecuației pot fi încă determinate (vezi, de exemplu, ecuația reciprocă ). În al doilea rând, există formule pentru rădăcinile ecuațiilor de gradul 5 și mai mare, folosind funcții speciale - eliptice sau hipergeometrice (vezi, de exemplu, rădăcina lui Bring ).

Dacă toți coeficienții unui polinom sunt raționali, atunci găsirea rădăcinilor sale duce la găsirea rădăcinilor unui polinom cu coeficienți întregi. Pentru rădăcinile raționale ale unor astfel de polinoame, există algoritmi pentru găsirea candidaților prin enumerare folosind schema lui Horner , iar atunci când se găsesc rădăcini întregi, enumerarea poate fi redusă semnificativ prin curățarea rădăcinilor. De asemenea, în acest caz, puteți utiliza algoritmul polinom LLL .

Pentru o găsire aproximativă (cu orice precizie necesară) a rădăcinilor reale ale unui polinom cu coeficienți reali, se folosesc metode iterative , de exemplu, metoda secantei , metoda bisecției , metoda Newton , metoda Lobachevsky-Greffe . Numărul de rădăcini reale ale unui polinom într-un interval poate fi determinat folosind teorema lui Sturm .

Vezi și

Schema lui Horner
Metoda lui Lily este o metodă grafică pentru găsirea rădăcinilor reale ale polinoamelor de grad arbitrar.
Funcția zero

Note

↑ Teorema lui Abel în probleme și soluții - M.: MTsNMO, 2001. - 192 p. . Consultat la 9 noiembrie 2011. Arhivat din original la 22 ianuarie 2021. (nedefinit)

Literatură

Vinberg E. B. Algebra polinoamelor. - M . : Educaţie, 1980. - 176 p.
Prasolov VV Polinoame . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .