Cea mai scurtă curbă este o curbă dintr-un spațiu metric care leagă două dintre punctele sale și nu depășește în lungime nicio altă curbă cu aceleași capete.
Un spațiu cu o metrică intrinsecă , în care pentru oricare două puncte există o cale cea mai scurtă care le conectează, se numește geodezic; cele mai scurte curbe din el sunt, prin definiție, geodezice .
Într -un spațiu complet cu metrică intrinsecă , lungimea celei mai scurte curbe coincide cu distanța dintre capete.
Teorema Hopf–Rinow : Într-un spațiu de lungime local compact , există o cale cea mai scurtă între oricare două puncte.
În cazul general, este posibil să nu existe o cale cea mai scurtă între punctele dintr-un spațiu metric, dar chiar dacă există, lungimea sa poate depăși distanța dintre capete.
Conform lemei Gauss , într-o varietate Riemanniană , orice parametrizare naturală cea mai scurtă este o geodezică .