Lema lui Euclid

Toate numerele din acest articol sunt considerate a fi numere întregi , dacă nu se specifică altfel.

Lema lui Euclid este un rezultat clasic al teoriei numerelor elementare . Este formulată ca propoziția 30 în cartea a VII -a a Elementelor lui Euclid și este cheia pentru demonstrarea teoremei fundamentale a aritmeticii . Formulare modernă [1] :

Dacă produsul mai multor factori este divizibil cu un prim , atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu . $p$ $p$

Exemplu. 19 este un număr prim și împarte . Prin urmare, unul dintre factori este divizibil cu 19, și anume: $19019=133\cdot 143.$ $133=19\cdot 7.$

Dacă nu este un număr prim, atunci teorema poate eșua. Exemplu: divizibil cu 20, dar niciunul dintre factori nu este divizibil cu 20. $p$ $4\cdot 15=60$

Dovada

Fie divizibil cu , dar nu divizibil cu . Atunci și sunt coprime , prin urmare, există numere întregi și astfel încât $x\cdot y$ $p$ $X$ $p$ $X$ $p$ $u$ $v$

x\cdot u+p\cdot v=1

( rația lui Bezout ).

Înmulțind ambele părți cu , obținem $y$

(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.

Ambii termeni din partea stângă sunt divizibili cu , ceea ce înseamnă că partea dreaptă este, de asemenea, divizibilă cu , etc. [2] $p$ $p$

Generalizări

Dacă produsul este divizibil cu și coprim , atunci [3] este divizibil cu $bc$ $A$ $a,b$ $c$ $A.$

Lema lui Euclid este valabilă nu numai în inelul numerelor întregi, ci și în alte inele factoriale , unde rolul numerelor prime este jucat de elemente ireductibile . În special, este valabil în inelele euclidiene [4] , de exemplu:

Inel de numere întregi gaussiene ${\mathbb {Z}}[i].$
Inel de polinoame într-o variabilă peste un câmp $K[x]$ $K.$

Note

↑ Vinogradov, 1952 , p. douăzeci.
↑ Kaluznin L. A. Teorema fundamentală a aritmeticii . - M. : Nauka, 1969. - P. 13 (Teorema 4). — 32 s. - ( Prelegeri populare despre matematică ).
↑ Bukhshtab A. A. Teoria numerelor. - M . : Educaţie, 1966. - P. 46 (Teorema 41). — 384 p.
↑ Leng S. Algebră . - M . : Mir, 1968. - S. 89 -90. — 564 p.

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor. - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Jikov V.V. Teorema fundamentală a aritmeticii // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr 3 . - S. 112-117 .

Link -uri

`* Weisstein, Eric W. Lema lui Euclid (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .