Lema lui Yoneda

Lema lui Yoneda este un rezultat despre functorul Hom ; generalizarea teoretică a categoriilor a teoremei clasice de teorie a grupurilor a lui Cayley (dacă considerăm un grup ca o categorie a unui obiect). Lema ne permite să luăm în considerare încorporarea unei categorii arbitrare în categoria functorilor din ea în categoria mulţimilor . Este un instrument important care a făcut posibilă obținerea multor rezultate în geometria algebrică și teoria reprezentării .

Caz general

Într-o categorie arbitrară (local mică) pentru un obiect dat , putem considera functorul covariant Hom , notat cu: $A$

h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)

Lema lui Yoneda afirmă că pentru orice obiect al categoriei , transformările naturale de la la un functor arbitrar de la o categorie la o categorie de mulțimi sunt în corespondență unu-la-unu cu elementele lui : $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$ $FA)$

\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)

Pentru o transformare naturală dată de la elementul corespunzător este , adică transformarea naturală este determinată în mod unic de imaginea morfismului identic. $\Phi$ $h^{A}$ $F$ $FA)$ $u=\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})$

Versiunea contravariantă a lemei ia în considerare functorul contravariant:

h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)

trimitand la multi . Pentru un functor contravariant arbitrar de la la $X$ $\mathrm {Hom} (X,A)$ $G$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Set}}$

\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)

Regula mnemonică „cădere în ceva” este folosită atunci când se consideră morfismele într-un obiect fix.

Dovada lemei lui Yoneda este prezentată în următoarea diagramă comutativă :

Diagrama arată că transformarea naturală este complet definită , deoarece pentru orice morfism : $\Phi$ $\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})=u$ $f\colon A\la X$

\Phi _{X}(f)=(Ff)u

Mai mult, această formulă definește o transformare naturală pentru oricare (deoarece diagrama este comutativă). Dovada cazului contravariant este similară. $u\in F(A)$

Investiția lui Yoneda

Un caz special al lemei lui Yoneda este atunci când functorul este, de asemenea, un functor Hom. În acest caz, o versiune covariantă a lemei lui Yoneda afirmă că: $F$

\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)

Maparea fiecărui obiect de categorie la functorul Hom corespunzător și fiecare morfism la transformarea naturală corespunzătoare definește un functor contravariant de la , sau un functor covariant: $A$ ${\mathcal C}$ $h^{A}=Hom(A,-)$ $f\colon B\la A$ $\mathrm {Hom} (f,-)$ $h^{-}$ ${\mathcal C}$ $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$

h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text {op}}\la \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}

În această situație, lema lui Yoneda afirmă că este un functor complet univalent , adică definește o încorporare în categoria functorilor în . $h^{-}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathbf {Set}}$

În cazul contravariant, după lema Yoneda:

\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)

Prin urmare , definește un functor covariant complet univalent (încorporarea Yoneda): $h_{-)$

h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}

Literatură

Freyd, Peter (1964), Abelian categories (2003 reprinted.), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row , < http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html > .
McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .