Lema șarpelui

Lema șarpelui este un instrument folosit în matematică , în special algebra omologică , pentru a construi secvențe lungi exacte . Lema șarpelui este adevărată în orice categorie abeliană și joacă un rol cheie în algebra omologică și în aplicațiile sale, cum ar fi topologia algebrică . Omomorfismele construite cu ajutorul lui se numesc de obicei homomorfisme de legătură .

Formulare

Într-o categorie abeliană (cum ar fi categoria grupurilor abeliene sau categoria spațiilor vectoriale peste un câmp fix ), luați în considerare o diagramă comutativă :

ale căror șiruri sunt secvențe exacte , iar 0 este obiectul nul .

Apoi există o secvență exactă care conectează nucleele și co-nucleele mapărilor a , b și c :

\ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname { coker} a~{\culoare {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c

unde d este un homomorfism, cunoscut sub numele de homomorfism de legare .

Mai mult, dacă morfismul f este un monomorfism , atunci morfismul este de asemenea un monomorfism, iar dacă g' este un epimorfism , atunci u este un epimorfism. $\operatorname {ker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {ker} b$ $\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c$

Nume Explicație

Pentru a explica originea numelui lemei, imaginați-vă diagrama de mai sus după cum urmează:

și rețineți că secvența exactă a cărei existență este afirmată în lemă are forma unui șarpe târât.

Crearea mapelor

Mapările dintre nuclee și mapările dintre cokernel-uri sunt induse în mod natural de mapări date (orizontale) datorită comutativității diagramei. Precizia celor două secvențe induse rezultă în mod natural din acuratețea liniilor diagramei originale. O parte importantă a afirmației lemei este existența unui homomorfism de legătură d inclus în succesiunea exactă.

În cazul grupurilor sau modulelor abeliene peste un inel , maparea d poate fi construită după cum urmează:

Alegem un element x din ker c și îl considerăm ca un element al lui C ; întrucât g este surjectiv, există un y din B astfel încât g ( y ) = x . Deoarece diagrama este comutativă, avem g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (deoarece x se află în nucleul lui c ) și, prin urmare, b ( y ) se află în miezul lui g' . Deoarece rândul de jos este exact, găsim elementul z al lui A' astfel încât f '( z ) = b ( y ). Elementul z este unic datorită injectivității lui f '. Definim d ( x ) = z + im ( a ). Rămâne de verificat că d este bine definit (adică d ( x ) depinde numai de x , nu de alegerea lui y ), că este un homomorfism și că șirul rezultat este exact.

Dacă se face acest lucru, teorema va fi demonstrată pentru grupuri abeliene sau pentru module peste un inel. În general, dovada poate fi reformulată în termeni de proprietăți ale săgeților. O altă modalitate de a demonstra este să folosiți teorema de încorporare a lui Mitchell .

Literatură

Paolo Aluffy . Algebră: capitolul 0, AMS 2016, ISBN 978-0-8218-4781-7 , pp. 179-182.
Serge Lang . Algebră. Ediția a 3-a, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4 , pp. 157-159.
Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. — M.: Mir, 1972.