Display logistic

O hartă logistică (de asemenea, harta pătratică sau harta Feigenbaum ) este o hartă polinomială care descrie modul în care dimensiunea populației se modifică în timp. El este adesea citat ca un exemplu al modului în care comportamentul complex și haotic poate apărea din ecuații neliniare foarte simple. Harta logistică este un analog discret al ecuației Verhulst logistice continue ; reflectă faptul că creșterea populației are loc în momente discrete.

Formularea matematică [1] a cartografierii

Unde:

ia valori de la 0 la 1 și reflectă raportul dintre valoarea populației din -al-lea an și maximul posibil și denotă numărul inițial (în anul numărul 0);  este un parametru pozitiv care caracterizează rata de reproducere (creștere) a populației.

Uneori, această formulare este numită maparea Verhulst (sau Verhulst -Pearl ), iar maparea logistică este o altă, dar echivalentă în formula proprietăților [2] :

Această mapare neliniară descrie două efecte:

• pe de o parte, când dimensiunea populației este mică, se reproduce într-un ritm proporțional cu această dimensiune;
• pe de altă parte, întrucât populația trăiește într-un mediu cu o „capacitate” limitată, atunci cu creșterea densității populației, rata de reproducere scade, competiția și mortalitatea cresc.

Unul dintre dezavantajele utilizării cartografierii ca model demografic este faptul că pentru unele valori inițiale și valori ale parametrilor, maparea oferă valori negative pentru dimensiunea populației. Modelul Ricoeur discret , care prezintă și un comportament haotic, nu are acest neajuns.

Comportament dependent de parametru

La modificarea valorii parametrului , în sistem se observă următorul comportament [3] .

• Dacă este mai mare de 0 și mai mică de 1, populația va muri în cele din urmă, indiferent de condițiile inițiale.
• Dacă este mai mare de 1 și mai mică de 2, dimensiunea populației va atinge rapid o valoare staționară , indiferent de condițiile inițiale.
• Dacă mai mult de 2 și mai puțin de 3, dimensiunea populației în același mod va ajunge la aceeași valoare staționară , dar la început va fluctua oarecum în jurul acesteia. Rata de convergență este liniară peste tot, cu excepția valorii =3, la care este extrem de mică, mai mică decât liniară.
• Dacă este mai mare de 3 și mai puțin (aproximativ 3,45), populația va fluctua nelimitat între cele două valori.
• Dacă este mai mare de 3,45 și mai mică de 3,54 (aproximativ), atunci populația va fluctua pe termen nelimitat între patru valori.
• Cu o valoare mai mare de 3,54, populația va fluctua între 8 valori, apoi 16, 32 și așa mai departe. Lungimea intervalului de modificare a parametrilor, la care se observă fluctuații între același număr de valori, scade cu . Raportul dintre două lungimi de intervale adiacente tinde către constanta Feigenbaum egală cu δ ≈ 4,669... Acest comportament este un exemplu tipic al unei cascade de bifurcații de dublare a perioadei.
• La o valoare de aproximativ 3,57, începe comportamentul haotic și cascada de dublare se termină. Nu se mai observă fluctuații. Micile modificări ale condițiilor inițiale duc la diferențe incomparabile în comportamentul ulterioar al sistemului în timp, care este principala caracteristică a comportamentului haotic.
• Majoritatea valorilor de peste 3,57 prezintă un comportament haotic, totuși există „ferestre” înguste și izolate de valori în care sistemul se comportă în mod regulat, denumite în mod obișnuit „ferestre periodice”. De exemplu, începând cu o valoare (aproximativ 3,83), există un interval de parametri la care se observă fluctuații între trei valori, iar pentru valori mai mari  - între 6, apoi 12 etc. De fapt, se pot găsi oscilații periodice. în sistem cu orice număr de valori . Secvența de modificare a numărului de valori satisface ordinea Sharkovsky .
• Pentru > 4, valorile de mapare părăsesc intervalul [0,1] și diferă în orice condiții inițiale.

Rezultatul celor de mai sus este dat în diagrama de bifurcație . Valorile parametrului sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor , iar valorile luate la timpi mari sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor .

Structura diagramei de bifurcație este auto-similară : dacă măriți zona, de exemplu, la o valoare de = 3,82 într-una din cele trei ramuri, puteți observa că structura fină a acestei zone arată ca o versiune distorsionată și neclară. a întregii diagrame. Același lucru este valabil pentru orice vecinătate de puncte nonhaotice. Acesta este un exemplu de conexiune profundă între sistemele haotice și fractali.

Un program pentru construirea unei diagrame de bifurcație

Următorul program Python construiește o diagramă de bifurcație.

import matplotlib.pyplot ca plt x3 = 0,01 s = [] c = [] l = 0,01 pentru j în interval ( 200 ): x0 = x3 pentru i în interval ( 200 ): x0 = 1 - l * x0 * x0 s . anexează ( x0 ) c . anexează ( l ) x3 = x0 l += 0,01 plt . plot ( c , s , 'r.' , ms = 1 ) plt . arata ()

Soluție analitică

Pentru soluția analitică exactă este următoarea:

Note

1. ↑ Dynamic Chaos Arhivat pe 22 martie 2012 la Wayback Machine în Encyclopedia of Physics
2. ↑ V. N. Dumachev, V. A. Rodin. Evoluția populațiilor care interacționează antagonic pe baza modelului bidimensional Verhulst-Pearl . - Math-Net.ru, 2005. - T. 17 , nr. 7 . - S. 11-22 . (Rusă)
3. ↑ „ Demonstrația Java a bifurcațiilor unei hărți cuadratice arhivată la 13 mai 2008 la Wayback Machine ” pe pagina principală a Dr. Evgeny Demidov.

Vezi și

• lanțuri Markov
• Teoria catastrofei