Funcţie meromorfă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 13 iunie 2018; verificările necesită 5 modificări .

O funcție meromorfă (din greacă μέρος - „parte” și μορφή - „formă”) a unei variabile complexe într-o regiune (sau pe o suprafață Riemann ) este o funcție holomorfă într-o regiune care are un pol în fiecare punct singular (deci , un punct izolat al mulțimii , fără puncte limită la , și ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $f$ $P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definiție

O funcție meromorfă reală este dată de un triplu unde este o suprafață Riemann compactă , este o involuție antiholomorfă (involuție de conjugare complexă) și este o hartă pe sfera Riemann ( ). Mai mult, trebuie să îndeplinească condiția pentru toate Orice funcție reală este construită dintr-o funcție algebrică reală: orice polinom cu coeficienți reali este o funcție meromorfă reală. Mulțimea punctelor fixe ale involuției constă din contururi închise simple, care nu se intersectează în perechi (ovale). Dacă este conectată (deconectată), atunci curba se numește neseparatoare (separatoare). O funcție meromorfă reală transformă ovalul unei curbe reale într-un contur în care Gradul de mapare este definit ca indicele funcției pe oval - valoarea absolută a gradului $(P,\tau,f),$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z))}$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau}\subset P$ $\tau$ $P\setminus P^{\tau }$ $f$ $A$ $(P,\tau )$ ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\la \mathbb {\hat {R)} .$ $(P,\tau,f)$ $a\in P^{\tau }$ $f|_{a}.$

Spațiul funcțiilor meromorfe reale constă dintr-un număr numărabil de componente conexe, unde fiecare componentă este o varietate reală neînchisă de dimensiuni finite și se distinge prin specificarea invarianților topologici întregi . De exemplu, gradul de mapare și genul curbei sunt invariante Tipul topologic al funcției este un set de numere ( ), unde este numărul de foi ale acoperirii , setul este setul de indici de funcție pe ovale , și este un număr egal cu 1 pentru curbele de separare și 0 pentru cele neseparatoare. [unu] $n$ $f$ $g$ $P.$ $(P,\tau,f)$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $f,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ $(P,\tau,f)$ $\varepsilon$

Mulțimea tuturor funcțiilor meromorfe de pe un domeniu este un câmp în raport cu operațiile obișnuite punctual cu extensie ulterioară în singularități amovibile. $M(P)$ $P$

Proprietăți

Raportul oricărei funcții holomorfe și , este o funcție meromorfă în . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
În schimb, orice funcție meromorfă dintr-un domeniu (și pe o suprafață Riemann necompactă ) poate fi reprezentată ca , unde și sunt holomorfe și nu au zerouri comune în . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

Astfel, pe o suprafață Riemann necompactă, câmpul coincide cu câmpul coeficientilor inelului de funcții holomorfe în . $M(P)$ $P$

Fiecare funcție meromorfă definește o mapare continuă de la domeniu la sfera Riemann , care este o mapare holomorfă în raport cu structura complexă standard . $f\in M(P)$ $f$ $P$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
În schimb, orice mapare holomorfă , definește o funcție meromorfă pe . În acest caz, mulțimea de poli coincide cu mulțimea discretă . $f:P\la \mathbb {C} \cup \{\infty \)$ $f$ $P$ $f$ $f^{{-1}}(\infty )$

Astfel, funcțiile meromorfe ale unei variabile complexe pot fi identificate cu mapări holomorfe pe sfera Riemann.

Pe orice suprafață Riemann necompactă, există o funcție meromorfă cu poli dați și dată în fiecare dintre ei partea principală a descompunerii Laurent ( teorema Mittag-Leffler despre descompunerea unei funcții meromorfe ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
Pe o suprafață compactă Riemann (de exemplu, pe un tor ), această problemă este în general de nerezolvat - sunt necesare condiții suplimentare pentru potrivirea părților principale.

Vezi și

Deducere

Note

↑ S. M. Natanzon, Funcții meromorfe reale pe curbe algebrice reale, Dokl. AN SSSR, 1987, volumul 297, numărul 1, 40–43.

Link -uri

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka . - 1969, 577 pagini.