Poliedrul Klee

Poliedrul Klee este o construcție care vă permite să obțineți un nou poliedru dintr-unul dat. Numit după matematicianul american Victor Klee [1]

Descriere

Fie P un poliedru convex într-un spațiu de orice dimensiune. Apoi politopul Klee P K al politopului P se formează prin adăugarea fiecărei fețe a lui P a unei piramide joase cu o bază în această față [2] [3] .

Note

• De obicei, când se construiește un poliedru Klee, noile vârfuri sunt alese în apropierea punctelor de mijloc ale fiecărei fețe a poliedrului original. În acest caz, politopul Klee al unui politop convex poate fi definit ca învelișul convex al vârfurilor politopului original și vârfurilor suplimentare [4] .

• Politopul Klee poate fi definit și prin dualitate , ca politopul dublu trunchiind politopul dublu la cel original.

Exemple

Triakistetraedrul este poliedrul tetraedrului Klee , triakisoctaedrul este poliedrul octaedrului Klee , iar triakisicosaedrul este poliedrul icosaedrului Klee . În toate aceste cazuri, poliedrul Klee se formează prin adăugarea unei piramide triunghiulare la fiecare față a poliedrului original. Conway a folosit pentru această operație prefixul kis introdus de Kepler ( operatorul lui Conway kis ), care poate fi văzut în denumirile poliedrelor Klee.

Tetrakishexaedrul este poliedrul Klee al cubului , format prin adăugarea de piramide pătrate la fiecare față, în timp ce dodecaedrul pentakis este poliedrul Klee al dodecaedrului , format prin adăugarea de piramide pentagonale.

Politopul de bază pentru politopul Klee nu trebuie să fie obișnuit . De exemplu, hexakisoctaedrul este un politop Klee al dodecaedrului rombic , format prin înlocuirea fiecărei fețe rombice a dodecaedrului cu o piramidă rombică, iar hexakisicosaedrul este politopul Klee al triacontaedrului rombic . De fapt, poliedrul de bază nu trebuie să fie un solid tranzitiv cu fațete , așa cum se vede în exemplul de tripentakisicosidodecaedru de mai sus.

Graficul Goldner-Harari poate fi reprezentat ca graficul vârfurilor și marginilor poliedrului Klee al unei bipiramide triunghiulare .

Caracteristici și aplicații

Dacă P are suficiente vârfuri în raport cu dimensiunea sa, atunci politopul Klee al lui P nu este ambiguu în ceea ce privește dimensiunea - graficul format din muchiile și vârfurile sale nu este graficul altui politop dintr-o altă dimensiune. Mai precis, dacă numărul de vârfuri ale unui politop d -dimensional P este de cel puțin d 2 /2 , atunci P K este lipsit de ambiguitate în raport cu dimensiunea [2] [5] .

Dacă orice fațetă i -dimensională a unui politop d -dimensional P este un simplex și dacă i ≤ d − 2 , atunci orice fațetă ( i + 1) -dimensională P K este de asemenea un simplex. În special, politopul Klee al oricărui politop 3D este un politop simplu , un politop ale cărui fețe sunt toate triunghiuri.

Politopul Klee poate fi folosit pentru a genera politopuri care nu conțin cicluri hamiltoniene - orice cale prin unul dintre vârfurile adăugate la construirea politopului Klee trebuie să intre în vârf și să iasă din el prin vecinii săi aparținând politopului original și, dacă există noile vârfuri mai mult decât vârfurile poliedrului original, atunci nu vor fi suficiente vârfuri pentru ca calea să existe. În special, graficul Goldner-Harari , politopul Klee al bipiramidei triunghiulare, are șase vârfuri adăugate la construirea politopului Klee și doar cinci vârfuri în bipiramida din care a fost creat politopul Klee, deci graficul nu este hamiltonian. Acesta este cel mai simplu politop simplicial non-Hamiltonian [6] [7] . Dacă un poliedru cu n vârfuri este format prin construirea repetată a unui poliedru Klee pornind de la un tetraedru, atunci calea sa cea mai lungă este O( n log 3 2 ) lungime . Adică, indicele de scurtare a acestor grafice este egal cu log 3 2 , aproximativ 0,630930. Aceeași tehnică arată că în orice dimensiune superioară d există poliedre simple cu indice de apropiere log d 2 [8] . Plummer [9] a folosit construcția politopului Klee pentru a crea o familie infinită de exemple de politopi simpli cu un număr par de vârfuri care nu au potriviri perfecte .

Poliedrele Klee au unele proprietăți extreme legate de gradele lor de vârf - dacă orice muchie dintr-un graf plan este incidentă cu cel puțin alte șapte muchii, atunci trebuie să existe un vârf de gradul de cel mult cinci, dar unul dintre vecinii săi va avea gradul 20 sau Mai Mult. Politopul Klee al politopului Klee icosaedric oferă un exemplu în care gradul vârfurilor de grad înalt este exact 20 [10] .

Note

1. ↑ Joseph Malkevitch. Oameni care fac diferența. — Societatea Americană de Matematică .
2. ↑ 1 2 Grünbaum, 1963 .
3. ↑ Grünbaum, 1967 .
4. ↑ Grünbaum, 1967 , p. 217.
5. ↑ Grünbaum, 1967 , p. 227.
6. ↑ Grünbaum, 1967 , p. 357.
7. ↑ Goldner, Harary, 1975 .
8. ↑ Moon, Moser, 1963 .
9. ↑ Plummer, 1992 .
10. ↑ Jendro'l, Madaras, 2005 .

Literatură

• Stanislav Jendro'l, Tomáš Madaras. Notă despre existența unor vârfuri de grad mic cu cel mult un vecin de grad mare în graficele plane // Publicații matematice din Munții Tatra. - 2005. - T. 30 . — S. 149–153 .
• A. Goldner, F. Harary . Notă despre cel mai mic grafic planar maximal nonhamiltonian // Bull. Matematică malaeziană. Soc.. - 1975. - V. 6 , nr. 1 . — S. 41–42 . . Vezi, de asemenea, acelaşi jurnal 6 (2):33 (1975) şi 8 :104-106 (1977). Link-uri din articolul lui Harari .
• Branko Grünbaum . Grafice poliedrice fără ambiguitate // Israel Journal of Mathematics. - 1963. - Vol. 1 , număr. 4 . — S. 235–238 . - doi : 10.1007/BF02759726 .
• Branko Grünbaum . Politopi convexe. — Wiley Interscience, 1967.
• JW Moon, L. Moser. Căi simple pe poliedre // Pacific Journal of Mathematics. - 1963. - T. 13 . — S. 629–631 . - doi : 10.2140/pjm.1963.13.629 .
• Michael D. Plummer. Extinderea potrivirilor în grafice plane IV // Matematică discretă . - 1992. - T. 109 , nr. 1–3 . — S. 207–219 . - doi : 10.1016/0012-365X(92)90292-N .