Funcție cu mai multe valori

O funcție cu mai multe valori este o generalizare a conceptului de funcție care permite mai multe valori ale funcției pentru un argument [1] .

Definiție

O funcție care asociază fiecare element al mulțimii cu un anumit submulțime al mulțimii se numește funcție multivalorică [2] dacă cel puțin pentru unul valoarea conține mai mult de un element $F$ $X$ $Y,$ $x\în X$ $F(x)$ $Y.$

Funcțiile obișnuite (cu o singură valoare) pot fi considerate ca un caz special al celor cu mai multe valori, în care valoarea constă dintr-un singur element.

Exemple

Cel mai simplu exemplu este o funcție de rădăcină pătrată cu două valori a unui număr pozitiv, are două valori care diferă în semn. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 16 are două semnificații - și $+4$ $-4.$

Un alt exemplu sunt funcțiile trigonometrice inverse (de exemplu, arcsinus ) - deoarece valorile funcțiilor trigonometrice directe se repetă cu o perioadă sau atunci valorile funcțiilor inverse sunt multivalorice ("infinite") , toate au forma sau unde este un întreg arbitrar. $2\pi$ $\pi ,$ $\varphi +2k\pi$ $\varphi +k\pi ,$ $k$

Funcțiile cu mai multe valori sunt incomod de utilizat în formule, prin urmare, una dintre valorile lor este adesea evidențiată, care se numește cea principală . Pentru o rădăcină pătrată, aceasta este o valoare nenegativă, pentru un arcsinus, o valoare care se încadrează în intervalul , și așa mai departe. $\left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2)}\right]$

Funcția antiderivată ( integrală nedefinită ) poate fi considerată și o funcție cu valoare infinită, deoarece este definită până la o constantă de integrare .

În analiză complexă și algebră

Un exemplu tipic de funcții cu mai multe valori sunt unele funcții analitice în analiza complexă . Ambiguitatea apare din continuarea analitică pe căi diferite . De asemenea, adesea funcțiile cu mai multe valori sunt obținute prin luarea de funcții inverse .

De exemplu, rădăcina a n- a a oricărui număr complex diferit de zero ia exact valori. Logaritmul complex are un număr infinit de valori, una dintre ele fiind declarată principală. $n$

În analiza complexă, conceptul de funcție cu mai multe valori este strâns legat de conceptul de suprafață Riemann - o suprafață într-un spațiu complex multidimensional pe care o funcție dată devine cu o singură valoare.

Vezi și

Display cu mai multe valori

Notă

↑ G. Korn, T. Korn . Manual de matematică. Pentru oameni de știință și ingineri. M., 1973 Capitolul 4. Funcții și limite, calcul diferențial și integral. 4.2. Funcții. 4.2-2. Funcții cu proprietăți speciale . ( a ), p.99. . Data accesului: 26 ianuarie 2012. Arhivat din original la 19 ianuarie 2015. (nedefinit)
↑ Kudryavtsev L. D. Multi-valued function // Mathematical Encyclopedia (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 720.

Literatură

Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. - Ed. a IV-a - M .: Nauka , 1972 .
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.