Continuitate după Scott

Continuitatea conform lui Scott  este o proprietate a funcțiilor peste mulțimi parțial ordonate , care se exprimă în păstrarea limitei superioare exacte în raport cu relația de ordine parțială .

Topologia lui Scott  este o structură peste o rețea completă sau, mai general, peste o mulțime completă parțial ordonată , în care mulțimile superioare sunt considerate deschise care sunt inaccesibile conexiunilor directe sau, echivalent, o topologie în cadrul căreia funcționează peste mulțimi parțial ordonate care păstrează limita superioară exactă , sunt continue [1] .

Conceptele au fost dezvoltate în anii 1970 de Dana Scott , datorită lor a fost construit primul model consistent al calculului λ netipizat și al semanticii denotaționale . În special, funcțiile de aplicare și curry sunt continue în sensul lui Scott [2] .

Definiții

Dacă și  sunt mulțimi parțial ordonate, atunci funcția dintre ele este Scott continuă dacă pentru orice submulțime direcționată există o limită superioară minimă a imaginii sale și următoarea condiție este îndeplinită: .

Topologia Scott pe un poset complet este introdusă prin definirea unui set deschis ca având următoarele proprietăți:

  1. din cele ce urmează ;
  2. dacă , unde și direcționat , atunci [3] .

Topologia lui Scott a fost introdusă pentru prima dată pentru rețele complete [4] , generalizată ulterior pentru a completa mulțimi parțial ordonate [3] .

Categoria ale cărei obiecte sunt mulțimi complete parțial ordonate și ale cărei morfisme  sunt mapări continue în sensul lui Scott se notează cu .

Proprietăți

Funcțiile Scott-continue sunt întotdeauna monotone în raport cu relația de ordin parțial .

O submulțime a unei mulțimi parțial ordonate este închisă în topologia Scott dacă și numai dacă este o mulțime inferioară și include cele mai mici limite superioare dintre toate submulțimile sale [5] .

O mulțime completă parțial ordonată dotată cu topologia Scott este întotdeauna un T 0 -spațiu și unul Hausdorff  dacă și numai dacă relația de ordine este trivială [5] .

Pentru orice funcție Scott-continuă care mapează un poset complet pe sine, teorema lui Kleene este valabilă , conform căreia fiecare astfel de mapare are un punct fix unic cel mai mic . În plus, maparea definită pe setul de funcții Scott-continue și returnând pentru fiecare funcție valoarea punctului său fix ( ), este ea însăși Scott-continuă [6] .

Categoria este carteziană închisă [7] .

Analogii

O construcție apropiată în proprietăți de topologia lui Scott este categoria spațiilor dezvoltată de Yuri Ershov în 1975 [8]  — poate fi folosită și pentru a construi un model consistent al calculului λ. Ca avantaj, se remarcă [9] că categoria -spații este carteziană închisă, fiecare obiect din el este un spațiu topologic, topologia produsului este produsul topologiilor factorilor, iar topologia din spațiul lui. funcțiile se dovedește a fi topologia convergenței punctuale . Topologia Scott nu are proprietăți atât de convenabile; în special, produsul topologiilor Scott pe mulțimi complete parțial ordonate nu este, în cazul general, o topologie Scott pe un produs de mulțimi.

Note

  1. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.6, p. 23.
  2. ↑ Barendregt, 1985 , Teoremele 1.2.13, 1.2.14, p. 25.
  3. ↑ 1 2 Barendregt, 1985 , p. 24.
  4. ↑ Scott, 1972 .
  5. ↑ 1 2 Abramsky, 1995 .
  6. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.17, p. 25-26.
  7. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.16, p. 25.
  8. ↑ Ershov, Yuri . Teoria numerotatii. — M .: Nauka , 1977. — 416 p.
  9. ↑ Barendregt, 1985 , p. 22.

Literatură