Tărâmul idealurilor principale
Domeniul idealurilor principale este domeniul integrității , în care orice ideal este principal . Un concept mai general este inelul idealurilor principale , de la care integritatea nu este necesară (cu toate acestea, unii autori, cum ar fi Bourbaki , se referă la inelul idealurilor principale ca un inel integral).
Elementele unui inel ideal principal sunt într-un fel ca numere : pentru orice element există o descompunere în factori primi unici, pentru oricare două elemente există cel mai mare divizor comun .
Domeniile ideale principale pot fi indicate pe următorul lanț de incluziuni:
Inele comutative ⊃ Domenii de integritate ⊃ Inele factoriale ⊃ Domenii ideale principale ⊃ Inele euclidiene ⊃ CâmpuriMai mult, toate domeniile idealurilor principale sunt inele Noetheriene și Dedekind .
Exemple
- Inel de numere întregi
- Inelul de polinoame peste câmpul k - k[x] , precum și inelul seriei de puteri formale
- Z [ i ] este inelul numerelor întregi gaussiene
- Inelul Eisenstein de numere întregi
Exemple de inele integrale care nu sunt inele ideale principale:
- Z [ x ] este un inel polinom cu coeficienți întregi (idealul (2, x) nu poate fi generat de un singur polinom)
- Inel polinomial în două variabile k[x, y] (idealul (x, y) nu este principal)
Module
Rezultatul principal aici este următoarea teoremă: dacă R este un domeniu al idealurilor principale și M este un modul finit generat peste R , atunci M se descompune într-o sumă directă de module ciclice, adică module generate de un singur element. Deoarece există un homomorfism surjectiv de la R la un modul ciclic peste el (trimiterea unei unități la generator), prin teorema homomorfismului orice modul ciclic are forma pentru unele .
În special, orice submodul al unui modul liber peste un domeniu ideal principal este gratuit. Acest lucru nu este valabil pentru inele arbitrare, ca contraexemplu se poate da -module embedding .
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be8fb440b3ba1d061407ab402fc6f2d4a51cbca)
Vezi și
Literatură
- Zarissky O., Samuel P . Algebră comutativă vol.1-2. - M: IL, 1963
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko . Algebre, inele și module . Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Nathan Jacobson . Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1