Operator invers

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 aprilie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Un operator invers unui operator este un operator care atribuie fiecăruia dintre seturile de valori ale operatorului un singur element din domeniul operatorului , care este o soluție a ecuației . Dacă operatorul are o inversă, adică ecuația are o soluție unică pentru oricare dintre , atunci se numește reversibil . Operatorul invers se notează [1] . $A$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $X$ ${\mathcal {D}}(A)$ $A$ $Ax=y$ $A$ $Ax=y$ $y$ $\mbox{Im}\,A$ $A$ $A^{{-1}}$

Definiție și condiții de existență

O altă definiție: operatorul se numește inversul operatorului dacă , unde este operatorul de identitate . Dacă numai relația este satisfăcută sau numai atunci operatorul se numește invers stânga sau , respectiv, inversă dreapta . Dacă un operator are un invers la stânga și un invers la dreapta, atunci ele sunt egale între ele, iar operatorul este inversabil [2] . Dacă există un operator invers, acesta este definit în mod unic [3] . $B$ $A$ $BA=I,\,AB=I$ $eu$ $BA=I$ $AB=I,$ $B$ $A$ $A$

Un operator este inversabil dacă se mapează la unu-la-unu, adică ia valori diferite pentru diferite . [4] Dacă operatorul este liniar , atunci pentru existența operatorului invers este suficient ca acesta să fie satisfăcut numai atunci când [5] . $A$ ${\mathcal {D}}(A)$ ${\mbox{Im}}\,A$ $x\in {\mathcal {D}}(A)$ $y$ $A$ $A x = 0$ $x=0$

Un operator liniar (chiar și unul limitat ) poate avea un operator invers definit nu pe întregul spațiu . De exemplu, în spațiu $\ell _{2}$ operatorul liniar

A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )

are o inversă, care este definită pentru vectorii cu prima coordonată egală cu zero: [5] . $x_{1}=0$

Proprietăți

$(A^{-1})^{-1}=A.$ [6]
$(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$ [3]
Operatorul , invers operatorului liniar , este de asemenea liniar. [unu] $A^{{-1}}$
${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1))$ , este un operator adjunct [7] . $A^{*}$

Teoreme de operator invers

Teorema lui Banach

Să fie un operator liniar mărginit care mapează un spațiu Banach pe un spațiu Banach într-o manieră unu-la-unu . Atunci operatorul invers este mărginit. $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$

Teorema lui Banach este unul dintre principiile de bază ale analizei liniare [8] . Din aceasta rezultă teorema de mapare deschisă : o mapare liniară continuă a unui spațiu Banach pe (toate) un spațiu Banach este deschis [9] . $A$ $E$ $E_1$

Condiții suficiente pentru existența unui operator invers

Fie un operator liniar care mapează un spațiu liniar normat pe un spațiu liniar normat să satisfacă orice condiție $A$ $E$ $E_1$ $x\in E$

\|Ax\|\geq m\|x\|,

unde este o constantă . Apoi există un operator liniar mărginit invers [10] . $m>0$ $A^{{-1}}$

Fie un operator inversabil liniar mărginit care acționează dintr-un spațiu Banach într-un spațiu Banach și să fie un operator liniar mărginit de la la astfel încât . Atunci operatorul are o inversă mărginită și $A$ $E$ $E_1$ $\Delta A$ $E$ $E_1$ $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$ $B=A+\Delta A$

\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\ Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}

[11] [12] .

Fie un spațiu Banach , să fie operatorul de identitate în , și să fie un operator liniar mărginit care se mapează în sine astfel încât . Atunci operatorul există, este mărginit și este reprezentat ca o serie $E$ $eu$ $E$ $A$ $E$ $\|A\|<1$ $(IA)^{-1}$

(IA)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty}A^{k)

[13] .

Exemple

transformata Fourier

g(\lambda)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt

poate fi privit ca un operator liniar mărginit care acționează din spațiu $L_{2}(-\infty ,\infty )$ în sine. Operatorul său invers este transformata Fourier inversă

f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\ lambda

[14] .

Operatori de integrare și diferențiere

Pentru operatorul de integrare

Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau,

actionand in spatiul functiilor continue , inversul va fi operatorul de diferentiere : $C[0,1]$

A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),

definită pe o varietate liniară de funcții continuu diferențiabile astfel încât [15] . $y(0) = 0$

Operator Sturm-Liouville

Pentru un operator diferenţial Sturm-Liouville definit pe o varietate liniară de funcţii diferenţiabile de două ori continuu astfel încât , operatorul invers este operatorul integral $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ $x(0)=x(1)=0$

A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau)y(\tau)\,d\tau,

unde este funcția lui Green . este un operator liniar mărginit în [15] . $G(t,\tau )$ $A^{{-1}}$ $C[0,1]$

Operator integral

Lăsa

Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

este un operator integral în spaţiul funcţiilor continue . Pentru valori suficient de mici ale parametrului, operatorul (unde este operatorul de identitate ) are un invers mărginit $C[0,1]$ $\lambda$ $(I-\lambda A)$ $eu$

(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda)y(s)\ ,ds

unde este rezolvarea nucleului . Cunoscând soluția, se poate găsi o soluție la ecuația integrală $R(t,s,\lambda )$ $K(t, s)$

x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds

pentru orice termen liber [16] . $y(t)$

Operator invers într-un spațiu finit-dimensional

Un operator dintr-un spațiu finit-dimensional este inversabil dacă și numai dacă rangul său coincide cu dimensiunea spațiului . Cu alte cuvinte, determinantul matricei sale este diferit de zero. Operatorului invers corespunde matricei inverse [17] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , p. 225.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 128.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 168.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 351.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , p. 319.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 154.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 207.
↑ Helemsky A. Ya. Operator liniar // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , capitolul IV, §5, p. 4.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 155.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 157.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , p. 229.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , p. 230.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională, 1976 , capitolul VIII.
↑ 1 2 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 161.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională, 1965 , p. 163.
↑ Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Algebră liniară. Proc. pentru universități. - Ed. a V-a - M . : Fizmatlit, 2002. - 320 p. — ISBN 5-9221-0129-3 .

Literatură

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. — Știința, cap. ed. Fiz.-Matematică. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elemente de analiză funcțională. - Ed. al 2-lea, revizuit .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Prelegeri despre analiza funcțională. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Sobolev V.I. Carterea inversă // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.