Ecuația Schrödinger staționară unidimensională

Ecuația Schrödinger staționară unidimensională este o ecuație diferențială ordinară liniară de ordinul doi de forma

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi ( x)=E\psi (x),\qquad (1)

unde este constanta lui Planck , este masa particulei, este energia potențială, este energia totală, este funcția de undă . Pentru o enunțare completă a problemei găsirii unei soluții, este, de asemenea, necesar să se stabilească condițiile la limită , care sunt prezentate într-o formă generală pentru interval $\hbar$ $m$ $U(x)$ $E$ $\psi(x)$ $(1)$ $[a,b]$

\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx))=\gamma _{1},\qquad (2)

\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx))=\gamma _{2},\qquad (3)

unde sunt constante. Mecanica cuantică consideră soluții ale unei ecuații cu condiții la limită și . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2))$ $(1)$ $(2)$ $(3)$

Proprietăți generale

Pe baza semnificației fizice, funcția de undă trebuie să fie o funcție univalorică și continuă a coordonatelor sale. Condiția de normalizare provine din interpretarea pătratului funcției de undă ca o probabilitate .

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)

Din aceasta rezultă, în special, că funcția de undă trebuie să decadă suficient de rapid în funcție de x. În cazul unidimensional, dacă funcția de undă este la , atunci exponentul în conformitate cu expresia $\psi (x)\sim 1/x^{\alpha )$ $x\longrightarrow +\infty$

\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\ alfa -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)

trebuie să satisfacă inegalitatea $\alpha >1/2.$

Integrarea ecuației într-o mică vecinătate a punctului a oferă condiții suplimentare asupra derivatei funcției de undă $(1)$

\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2))}dx={\frac {2m}{ \hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)

din care decurge in limita $\varepsilon \longrightarrow 0$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ dreapta|_{a-0}=0,\qquad(0d)

dacă energia potenţială are discontinuităţi de primul fel (sărituri finite) în punctul a. Dacă în punctul a există o discontinuitate de al doilea fel , de exemplu, energia potențială este descrisă de funcția delta ( ), atunci condiția ia forma $U(x)=-G\delta(xa)$ $(0c)$

\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\ dreapta|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)

Dacă spectrul de energie este nedegenerat, atunci există o singură funcție de undă care este o soluție a ecuației Schrödinger pentru o anumită energie și este definită până la fază. În cazul în care potențialul este simetric, atunci funcțiile de undă vor fi fie pare, fie impare, iar paritatea funcțiilor de undă alternează.

Soluții analitice exacte

În forma generală, nu există o soluție la ecuația , cu condiții la limită și , dar cu o anumită alegere a energiei potențiale se pot găsi soluții exacte. Ele joacă un rol important în construirea soluțiilor analitice aproximative ale ecuației . $(1)$ $(2)$ $(3)$ $(1)$

Soluția pentru o particulă liberă sunt undele plane

În spațiul liber, unde nu există potențiale, ecuația ia o formă deosebit de simplă $(1)$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x). \qquad(4)

Pentru această ecuație, soluția este suprapunerea undelor plane

\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad(5)

Aici, energia poate lua toate valorile peste zero, deci se spune că valoarea proprie aparține spectrului continuu . Constantele și sunt determinate din condiția de normalizare . $E$ $C_{1}$ $C_{2}$

Soluție pentru o particulă într-un puț de potențial unidimensional cu pereți infinit de înalți

Dacă o particulă este plasată într-un puț de potențial, atunci spectrul de energie continuă devine discret . Pentru o ecuație cu energie potențială , care este zero în interval și devine infinită în punctele și . Pe acest interval , ecuația Schrödinger coincide cu . Condițiile la limită pentru funcția de undă sunt scrise sub formă $(1)$ $U(x)$ $(0,a)$ $0$ $A$ $(4)$ $(2)$ $(3)$

\psi (0)=0,\qquad (6)

\psi (a)=0.\qquad (7)

Caut solutii in formularul . Ținând cont de condițiile la limită, obținem pentru energie valori proprii $A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta ))$ $E_{n}$

E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)

și funcții proprii, ținând cont de normalizare

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)

Soluții numerice

Un potențial oarecum complex în ecuație nu mai permite găsirea unei soluții analitice (sau mai bine zis, această soluție poate fi găsită doar pentru problema unei particule care se mișcă în câmpul alteia), și de aceea este necesară utilizarea metodelor numerice pentru a rezolva Ecuația Schrödinger. Una dintre cele mai simple și mai accesibile dintre acestea este metoda diferențelor finite , în care ecuația este înlocuită cu o ecuație cu diferențe finite pe o grilă aleasă cu noduri în puncte , și anume, prin înlocuirea derivatei a doua cu formula $(1)$ $(1)$ $x_{n}$

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{ h^{2}}},\qquad(10)

unde este pasul de discretizare , este numărul nodului grilei, obținem $h$ $n$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}} +U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad(11)

unde este valoarea energiei potențiale la nodurile rețelei. Fie o scară caracteristică a potențialului, atunci ecuația poate fi scrisă într-o formă adimensională $U_{n}$ $U(x)$ $A$ $(11)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{ n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)

Dacă notăm valorile adimensionale ale energiei potențiale și ale valorilor proprii , atunci ecuația va fi simplificată $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ $e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2)})$ $(12)$

-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)

Ultima expresie trebuie înțeleasă ca un sistem de ecuații pentru toți indicii posibili . $n$

Literatură

Boum A. Mecanica cuantică: fundamente și aplicații. M. Mir, 1990. - anii 720. ISBN 5-03-001311-3
Berezin F. A., Shubin M. A. Ecuația Schrödinger. Editura Universității de Stat din Moscova, 1983.
Kalitkin N. N. Metode numerice. M., Nauka, 1978.

Vezi și

Groapă cu pereți nesfârșiti

Modele de mecanică cuantică
Unidimensional fără spin	particule libere Groapă cu pereți nesfârșiti Puț cuantic dreptunghiular potenţial delta Puțul cuantic triunghiular Oscilator armonic Potențială piatră de treaptă Pöschl-Teller potenţial bine Potenţialul Pöschl-Teller modificat bine Particulă într-un potențial periodic Dirac potențial pieptene Particulă în inel
Multidimensional fără spin	oscilator circular Ionul moleculei de hidrogen Top simetric Potențiale simetrice sferic Potențial păduri-saxon problema lui Kepler Potenţialul Yukawa Potențial Morse Hulthen potențial Potenţialul molecular al lui Kratzer Potenţial exponenţial
Inclusiv spin	atom de hidrogen Ion hidrură atom de heliu