Operatori de naștere și distrugere

Operatorii de creare și anihilare sunt operatori matematici care sunt utilizați pe scară largă în mecanica cuantică , în special în studiul oscilatorilor armonici cuantici și al sistemelor cu mai multe particule [1] . În teoria câmpurilor cuantice, funcțiile de undă ale câmpurilor cuantizate au un sens operator și se descompun în operatori pentru crearea și anihilarea particulelor [2] . Operatorul de anihilare (notat de obicei ) reduce cu unu numărul de particule într-o stare dată. Operatorul de creare (notat de obicei ) crește numărul de particule într-o stare dată cu unul; este conjugat cu operatorul de anihilare. Acești operatori sunt utilizați în locul funcțiilor de undă în multe domenii ale fizicii și chimiei ( a doua cuantizare ). Conceptul de operatori de creație și anihilare a fost introdus în știință de Paul Dirac [3] . ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$

Operatorii de creare și anihilare pot afecta stările diferitelor tipuri de particule. De exemplu, în chimia cuantică și teoria multicorpilor, operatorii de creare și anihilare afectează adesea stările electronice . Ele se pot referi, de asemenea, în mod specific la operatori ladder pentru oscilatorul armonic cuantic . În acest ultim caz, operatorul de creștere (scădere) este interpretat ca un operator de creare (distrugere) care adaugă (înlătură) un cuantum de energie la (din) sistemul(ele) oscilator. Ele pot fi folosite pentru a reprezenta fononi .

Matematica pentru operatorii de creare și anihilare a bosonilor este aceeași ca și pentru operatorii de scară a oscilatorului cuantic armonic . De exemplu, comutatorul operatorilor de creare și anihilare asociați cu aceeași stare de boson este egal cu unul, în timp ce toate celelalte comutatoare dispar. Cu toate acestea, matematica este diferită pentru fermioni , folosind anticomutatori în loc de comutatoare [4] .

Definiție

Fie un spațiu Hilbert cu o particulă (adică orice spațiu Hilbert considerat ca reprezentând starea unei singure particule). ( O algebră bosonică KKS peste un spațiu Hilbert este o algebră cu operatori alăturați (notați cu * ) generați în mod abstract de elemente , unde aparține lui , ținând cont de relațiile: $H$ $H$ $a(f)$ $f$ $H$

[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0

[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,

în notație sutien și ket .

Maparea de la algebra bosonică KKS trebuie să fie complexă antiliniară . Conjugatul cu elementul este , iar maparea este liniară complexă în H . Astfel, este folosit ca subspațiu vectorial complex al propriei algebre CCR. În reprezentarea acestei algebre, elementul va fi implementat ca operator de anihilare și ca operator de creare. $a:f\to a(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$ $f\to a^{\dagger }(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$

În cazul general, algebra KKS este infinit-dimensională. Dacă luăm o completare a unui spațiu Banach, acesta devine o algebră C* . Algebra KKS peste este strâns legată, dar nu identică cu algebra Weil . $H$

Pentru fermioni, algebra CAS (fermionică) este construită în mod similar, dar utilizează în schimb relații de anticomutație , și anume $H$

\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0

\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .

O algebră CAS este dimensională finită numai dacă este dimensională finită. Dacă luăm o completare a unui spațiu Banach (necesar doar în cazul infinit-dimensional), acesta devine o algebră. Algebra CAS este strâns legată de , dar nu identică cu, algebra Clifford . $H$ $C^{*}$

Sensul fizic al operatorului este de a distruge particula în stare în timp ce creează particula în stare . $a(f)$ $|f\rangle$ $a^{\dagger }(f)$ $|f\rangle$

Starea de vid a câmpului liber este starea fără particule, caracterizată prin: $\left|0\right\rangle$

a(f)\left|0\right\rangle =0.

Dacă este normalizat astfel încât , atunci dă numărul de particule în stare . $|f\rangle$ $\langle f|f\rangle =1$ $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ $|f\rangle$

Operatori de creare și anihilare în teoriile câmpurilor cuantice

În teoriile câmpurilor cuantice și în problema cu mai multe corpuri , se folosesc operatorii de creare și anihilare a stărilor cuantice și , . Acești operatori modifică valorile proprii ale operatorului număr de particule , $a_{i}^{\dagger )$ $a_{i}^{\,)$

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,)

pe unitate, prin analogie cu oscilatorul armonic. Indicele (de exemplu, ) reprezintă numere cuantice , care denotă stări ale unei singure particule ale sistemului; prin urmare, nu sunt neapărat numere simple. De exemplu, un tuplu de numere cuantice este folosit pentru a reprezenta stări în atomul de hidrogen . $i$ $(n,l,m,s)$

Relațiile de comutație ale operatorilor de creare și anihilare într-un sistem cu mai mulți bozoni sunt:

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^ {\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

unde este comutatorul și este simbolul Kronecker . $[\ \ ,\ \ ]$ $\delta _{{ij}}$

Pentru fermioni , comutatorul este înlocuit cu un anticomutator , $\{\ \ ,\\\)$

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j }^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\} =0.

Prin urmare, schimbul de operatori care nu se suprapun (adică ) în operatorii de creare sau anihilare va schimba semnul în sistemele fermionice, dar nu și în sistemele bozonice. $i\neq j$

Dacă stările notate cu i sunt o bază ortonormală a unui spațiu Hilbert H , atunci rezultatul acestei construcții este același cu construcția algebrei CCR și a algebrei CAR din secțiunea anterioară. Dacă ei reprezintă vectori proprii corespunzători spectrului continuu al unui operator, ca pentru particulele nelegate în QFT, atunci interpretarea este mai subtilă.

Vezi și

Fock spațiu
Segal–Bargman space
Spațiu de fază optică
Transformarea Bogolyubov
Transformarea Holstein-Primakov
Jordan–Wigner transform
Mapping Jordan
Klein transform
Relația de comutație canonică

Note

↑ Feynman, 1975 , p. 175.
↑ Bogolyubov, 1957 , p. 69.
↑ Dirac, PAMD (1927). Teoria cuantică a emisiei și absorbției radiațiilor , Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
↑ Feynman, 1975 , p. 200-201.

Literatură

R. Feynman . Mecanica statistica. - M . : Mir, 1975. - 407 p.
N. N. Bogolyubov și D. V. Shirkov . Introducere în teoria câmpurilor cuantificate. - M . : Editura de stat de literatură tehnică şi teoretică, 1957. - 441 p.