C*-algebră

O algebră C* este o algebră Banach cu o involuție care satisface proprietățile operatorului adjunct .

Un caz special al unei algebre C* este o algebră complexă peste un câmp A de operatori liniari continui pe un spațiu Hilbert complex cu două proprietăți suplimentare:

A este o mulţime închisă topologic în topologia normei operatorului .
A este închis sub operațiunea de a lua conjugări de operatori .

O altă clasă importantă de algebre C* non-Hilbert sunt algebrele funcțiilor continue pe spațiu . $C_{0}(X)$ $X$

C*-algebrele au fost luate în considerare pentru prima dată în principal cu scopul de a le folosi în mecanica cuantică pentru a modela algebrele obiectelor observabile fizic . Această linie de cercetare a început cu mecanica cuantică matriceală a lui Werner Heisenberg și, într-o formă mai matematică, cu lucrările lui Pascual Jordan în jurul anului 1933. Ulterior, John von Neumann a încercat să stabilească structura generală a acestor algebre prin crearea unei serii de lucrări despre inelele operatorilor. Aceste lucrări s-au ocupat de o clasă specială de algebre C*, care sunt acum cunoscute sub numele de algebre von Neumann .

În jurul anului 1943, Israel Gelfand și Mark Naimark , folosind noțiunea de inele complet regulate, au dat o caracterizare teoretică a C*-algebrelor [1] .

C*-algebrele sunt în prezent un instrument important în teoria reprezentărilor unitare ale grupurilor compacte local și sunt, de asemenea, utilizate în formulările algebrice ale mecanicii cuantice . Un alt domeniu activ de cercetare este clasificarea sau determinarea gradului de clasificare posibilă pentru algebrele C* nucleare simple separabile.

Definiție formală

O algebră C* [2] este o algebră Banach A peste câmpul numerelor complexe , pentru toate elementele cărora o mapare este definită cu următoarele proprietăți: ${\textstyle x\in A}$ ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$

Această mapare este o involuție pentru fiecare x din A :

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

Pentru toate x , y din A :

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

Pentru fiecare număr complex din și fiecare x din A : $\lambda$ $\mathbb {C}$

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}

Pentru toate x din A :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|

Notă. Primele trei identități spun că A este o *-algebră . Ultima identitate se numește identitate C* și este echivalentă cu formula

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2))$

Identitatea C* este o cerință foarte puternică. De exemplu, împreună cu formula razei spectrale , rezultă că norma C* este determinată în mod unic de structura algebrică:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1\ {\text{ nu este reversibil}}\}.

Un operator mărginit : A B între C*-algebre A și B se numește *-homomorfism dacă $\pi$ $\la$

pentru toate x și y din A ,

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)

pentru toți x din A ,

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}

În cazul C*-algebrelor, orice *-homomorfism între C*-algebre este contractiv, adică mărginit de norma . Mai mult, un *-homomorfism injectiv între C*-algebre este izometric . Aceste proprietăți sunt consecințe ale identității C*. $\pi$ $\leq 1$

Un *-homomorfism bijectiv se numește C*-izomorfism , caz în care A și B se spune că sunt izomorfe . $\pi$

Note

↑ I. Gelfand , M. Neumark . Despre încorporarea inelelor normate în inelul operatorilor din spațiul Hilbert , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.
↑ Această definiție a fost dată pentru prima dată în articolul de I. Gelfand , M. Neumark . Despre încorporarea inelelor normate în inelul operatorilor din spațiul Hilbert , Mat. Sb., 12(54):2 (1943), 197-217.

Link -uri

J. Murphy. C *-Algebre și Teoria operatorilor = C *-Algebre și Teoria operatorilor. - M .: Factorial, 1997. - ISBN 5-88688-016-X .
Arveson W. O invitație la C*-Algebra (engleză). -New York:Springer-Verlag, 1976. - Vol. 13 Texte de absolvire în matematică. — 106p. —ISBN 0-387-90176-0.
Connes, Alain , Geometrie necomutativă , ISBN 0-12-185860-X , < https://archive.org/details/noncommutativege0000conn >
Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algebres et leurs representations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 , < https://archive.org/details/calgebras0000dixm >
Doran, Robert S. & Belfi, Victor A. (1986), Caracterizările C*-algebrelor: The Gelfand-Naimark Theorems , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8
Emch, G. (1972), Metode algebrice în mecanica statistică și teoria cuantică a câmpurilor , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3
AI Shtern (2001), C* algebra , în Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Sakai, S. (1971), C*-algebre și W*-algebre , Springer, ISBN 3-540-63633-1
Segal, Irving (1947), Reprezentări ireductibile ale algebrelor operatorilor , Buletinul Societății Americane de Matematică vol . 53 (2): 73–88 , DOI 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5