Ortopol

Ortopolul sistemului format din triunghiul ABC și dreapta ℓ (în figura din dreapta această dreaptă ℓ corespunde dreptei A ′ C ′ ) în planul dat este un punct definit astfel. [1] . Fie A ′, B ′, C ′ bazele perpendicularelor trasate pe dreapta ℓ de la vârfurile triunghiului A , B , C , respectiv . Fie A ′′, B ′′, C ′′ bazele perpendicularelor trasate pe laturile opuse corespunzătoare A , B , C ale triunghiului specificat sau pe prelungirile acestor laturi. Apoi trei drepte A ′ A ′′, B ′ B ′′, C ′ C ′′, se intersectează într-un punct — la ortopolul H . [2] Datorită numeroaselor lor proprietăți [3] , ortopolele au devenit subiect de studiu serios [4] . Au fost studiate câteva concepte cheie - definiția liniilor care au un ortopol dat [5] și cercuri ortopol. [6]

Proprietăți

Notă

Peste tot mai jos în text ortopolul P corespunde ortopolului H din fig. în dreapta, iar linia dreaptă ℓ a ortopolului P din aceeași fig. corespunde dreptei A ′ C ′ .

Ortopol și ortocentru

Dacă trece prin ortocentrul Q al triunghiului, atunci punctul situat pe continuarea segmentului PQ care leagă ortopolul cu ortocentrul, de cealaltă parte la o distanță egală cu PQ , se află pe cercul Euler al acestui triunghi. [7]
Ortocentrul Q al unui triunghi este ortopolul laturilor sale în raport cu triunghiul însuși. [opt]

Orthopole ca centru radical

Ortopolul P al dreptei ℓ a triunghiului este centrul radical a trei cercuri care sunt tangente la dreapta ℓ și au centre la vârfurile triunghiului anticomplementar față de triunghiul dat. [9]

Ortopol și cerc circumscris

Dacă linia ℓ a ortopolului trece prin centrul cercului circumscris triunghiului , atunci ortopolul însuși se află pe cercul Euler al acestui triunghi. [3] [10]
Din ultima proprietate rezultă că, pentru un triunghi dat , locul punctelor - toți ortopolii P ai tuturor dreptelor ℓ care trec prin centrul cercului circumscris triunghiului este cercul Euler al acestui triunghi.
Dacă linia ℓ a ortopolului intersectează cercul circumferitor al triunghiului în două puncte P și Q , atunci ortopolul însuși se află la intersecția celor două drepte Simson ale ultimelor două puncte P și Q. [unsprezece]
Pentru un triunghi dat , locul punctelor - toți ortopolii P ai tuturor dreptelor ℓ care trec printr-un punct fix situat pe cercul circumscris triunghiului, este o dreaptă (segment).

Linia lui Orthopole și Simson

Dacă ortopolul se află pe linia lui Simson , atunci linia sa ℓ este perpendiculară pe acesta. [3]
Dacă linia ℓ a ortopolului este linia Simson a punctului P , atunci punctul P se numește polul dreptei Simson ℓ [3]

Ortopole ale dreptelor paralele

Dacă linia ℓ a ortopolului se mișcă paralel cu sine, atunci ortopolul său se mișcă de-a lungul liniei perpendiculare pe ℓ cu o distanță egală cu deplasarea. [3]
Ortopolii a două drepte paralele se află pe perpendiculara lor comună pe cele două drepte la o distanță egală cu distanța dintre drepte. [12]

Ortopolii triplelor vârfurilor unui patrulater

Dacă este dată o dreaptă fixă ℓ și se alege oricare dintre cele trei vârfuri ale patrulaterului , atunci toți ortopolii dreptei date ℓ în raport cu toate aceste triunghiuri se află pe aceeași linie dreaptă. Această linie se numește linia ortopolară a dreptei date ℓ în raport cu patrulaterul. [13]

Conică (elipsă) generată de ortopoli

Se știe (vezi [14] [15] ) că găsirea pentru un triunghi fix dat a tuturor ortopolilor pentru toate liniile care trec printr-un punct fix generează o conică, care este întotdeauna o elipsă tangentă în 3 puncte la deltoidul Steiner al triunghiului dat. . O conică degenerează într-o dreaptă (segment de linie) atunci când punctul se află pe cercul circumscris triunghiului . Această conică generalizează proprietatea discutată în [16] , conform căreia, pentru un punct care coincide cu centrul cercului circumscris triunghiului , conica devine cercul Euler [17] $O_{PQ}$ $PQ$ $P$ $P$ $ABC$ $P$ $O$
Observație . În acest articol, în paragraful „Ortopol și cercul circumscris ”, proprietatea menționată mai sus sună astfel:

Dacă linia ℓ a ortopolului trece prin centrul cercului circumscris triunghiului , atunci ortopolul însuși se află pe cercul Euler al acestui triunghi . [3] [18]

Feuerbach puncte ca ortopole

În literatura engleză, 4 centre a 4 cercuri: 1 înscris și 3 excercuri cu centre, respectiv , atingând respectiv 3 laturi diferite ale triunghiului sau prelungirile acestora, se numesc 4 centri tritangenți ai triunghiului ( centrii tritangenți ) [19] . Această remarcă este importantă pentru următoarea afirmație. ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$

Punctele Feuerbach ale unui triunghi sunt ortopolii acestui triunghi dacă diametrele cercului circumscris care trece prin centrele de trei tangente corespunzătoare sunt luate drept drepte ℓ pentru acești ortopoli [20] . Ultima afirmație este o consecință a afirmației indicate mai jos.

Punctul Feuerbach pentru un dat înscris sau excerc (cerc cu trei tangente - în engleză „un cerc tritangent”) este punctul de intersecție a 2 linii Simson , construite pentru capetele diametrului cercului circumferitor care trece prin centrul corespunzător al inscripției. sau încercuiește. Astfel, punctele Feuerbach pot fi construite fără a folosi cercul sau excercul corespunzător și cercul Euler tangent la acesta [21] .

Generalizare

Existența unui ortopol decurge dintr-o teoremă mai generală, așa-numita teoremă Steiner asupra triunghiurilor ortologice [22] .

Teorema triunghiului ortolog a lui Steiner afirmă (vezi teorema triunghiului ortolog a lui Steiner ) că dacă ΔABC este ortolog cu ΔA'B'C' , atunci este echivalent cu ΔA'B'C' fiind ortolog cu ΔABC . În cazul unui ortopol , proiecțiile vârfurilor triunghiului ABC pe dreapta ℓ — punctele A' , B' , C' — pot fi considerate vârfurile unui triunghi degenerat, iar perpendicularele paralele se intersectează la un punct infinit îndepărtat.

Triunghiurile ortologice sunt triunghiuri ABC și A 1 B 1 C 1 pentru care perpendicularele coborâte din punctele A, B și C la liniile B 1 C 1 , C 1 A 1 și A 1 B 1 se intersectează într-un punct. În acest caz, perpendicularele coborâte din punctele A 1 , B 1 și C 1 la liniile BC, CA și AB se intersectează și ele într-un punct.

Istorie

Ortopolul a fost descoperit de matematicianul M. Soons în 1886 într-un articol de la p. 57 în revista științifică belgiană de matematică elementară Mathesis (revista), fondată în 1881 de Paul Mansion ( Paul Mansion ) și Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), iar termenul de ortopol (ortopol) a fost propus de menționatul Neuberg în revista „Mathesis” pentru 1911 la p. 244 conform surselor [23] , [24]

Vezi și

Polar și polar

Link -uri

↑ MathWorld: Orthopole . Preluat la 20 iunie 2020. Arhivat din original la 31 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Copie arhivată . Preluat la 20 iunie 2020. Arhivat din original la 25 februarie 2017. (nedefinit)
↑ 1 2 3 4 5 6 The Orthopole (21 ianuarie 2017). Preluat la 20 iunie 2020. Arhivat din original la 22 iunie 2020. (nedefinit)
^ „The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle” Autor(i): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Vol. 37, nr. 3 (martie 1930), pp. 130–136 Publicat de: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Arhivat 27 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ „The Projective Theory of Orthopoles”, Sora Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , vol. 39, nr. 6 (iunie-iulie, 1932), pp. 327–338 Publicat de: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Arhivat 24 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Goormaghtigh, R. (1 decembrie 1946). „1936. Ortopolul” . Gazeta Matematică . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Arhivat din original pe 25.02.2017 . Preluat 2020-06-20 prin Cambridge Core. Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolul. §699. Teorema. Smochin. 156. P. 290-291.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolul. §Exerciții. §unu. p. 291.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolul. §Exerciții. §6. p. 291.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694, Fig. 155, p. 288.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §697. Teorema, Fig. 155, p. 289-290.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §693, Fig. 154, p. 287-288
↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Arhivat 22 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington D.C., Math. conf. univ. Ammer., 1995, pp. 106-110.
↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 17.
↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Arhivat 5 august 2020 la Wayback Machine
↑ „5. Conic generated by orthopoles” În: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Arhivat 8 iulie 2020 la Wayback Machine
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Orthopole, §694. Smochin. 155, p. 288.
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Centrii tritangenți. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. corolar. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observație. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arhivat 30 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ Myakishev A. Mergând în cerc: de la Euler la Taylor // Matematică. Totul pentru profesor! nr. 6 (6). Iunie. 2011. p. 6, Definiția ortopolului, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Ion Pătrașcu. DUBLUL TEOREMEI ORTOPOLULUI// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Arhivat 28 iulie 2020 la Wayback Machine
↑ Nathan Altshiller-Court, College Geometry. O introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. a doua editie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 306, §692, §694

Literatură

Atul Dixit, Darij Grinberg. Orthopoles și teorema Pappus// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
Geometria colegiului: o introducere în geometria modernă a triunghiului și a cercului. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolul. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
Bogomolny, A. „Orthopole”. https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
Goormaghtigh R. Tratamentul analitic al unor teoreme ortopole// Amer. Matematică. Lunar 46. 1939. P. 265-269,
Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, ed. a II-a. Londra: Hodgson, 1913. - Capitolul 6. Orthopole. P. 46-54.
Honsberger , R. Episoade din geometria euclidiană din secolul al XIX-lea și al XX-lea. Washington, DC: Matematică. conf. univ. Amer., 1995. - Capitolul 11. Ortopolul. P. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
Johnson RA Geometrie modernă: un tratat elementar despre geometria triunghiului și a cercului. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
Ramler OJ Lociul ortopol al unor sisteme de linii cu un singur parametru referit la un triunghi fix// Amer. Matematică. 37 lunar, 1930, p. 130-136.
Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris: Jacques Gabay, 1987, p. 17.
Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
Ortopolul unui acord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
Junko HIRAKAWA. Câteva teoreme asupra ortopolului. Jurnalul de matematică Tohoku, prima serie. 1933 Vol. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
Myakishev A. Mersul în cerc: de la Euler la Taylor // Matematică. Totul pentru profesor! nr. 6 (6). Iunie. 2011. p. 6, Definiția ortopolului, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf