Punctul singular al curbei

Un punct singular al unei curbe este un punct în a cărui vecinătate nu există o parametrizare lină . Definiția exactă depinde de tipul de curbă studiată.

Curbe algebrice în plan

O curbă algebrică într-un plan poate fi definită ca o mulțime de puncte care satisfac o ecuație de forma , unde este o funcție polinomială : $\stanga(x,y\dreapta)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\stanga(x,y\dreapta)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Dacă originea aparține curbei, atunci . Dacă , atunci teorema funcției implicite garantează existența unei funcții netede , astfel încât curba să ia forma în apropierea originii. În mod similar, dacă , atunci există o funcție astfel încât curba să satisfacă ecuația din vecinătatea originii. În ambele cazuri, există o mapare lină care definește o curbă într-o vecinătate a originii. Rețineți că în vecinătatea originii coordonatelor $\left(0,0\right)$ $a=0$ $b_{2}\nu =0$ $g$ $y=g\stanga(x\dreapta)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\stanga(y\dreapta)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.

Punctele singulare ale curbei sunt acele puncte ale curbei în care ambele derivate dispar:

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Puncte regulate

Lasă curba să treacă prin origine. Punând , poate fi reprezentat în formă $y=mx$ $f$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots

Dacă , atunci ecuația are o soluție de multiplicitate 1 în punctul și originea este punctul de contact unic al curbei cu dreapta . Dacă , atunci are o soluție de multiplicitate 2 sau mai mare în punct și linia este tangentă la curbă. În acest caz, dacă , curba are dublu contact cu linia . Dacă , iar coeficientul la nu este egal cu zero, atunci originea este punctul de inflexiune al curbei. Acest raționament poate fi aplicat oricărui punct al curbei prin mutarea originii într-un punct dat. [unu] $b_{1}+b_{2}m\nu =0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Puncte duble

Dacă în ecuația de mai sus și , dar cel puțin una dintre valori , sau nu este egală cu zero, atunci originea se numește un punct dublu al curbei. Puneți din nou , apoi va lua forma $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $f$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\dots .

Punctele duble pot fi clasificate după rădăcinile ecuației . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Puncte de auto-intersecție

Dacă ecuația are două soluții reale în , adică dacă , atunci originea se numește punct de autointersecție . Curba în acest caz are două tangente diferite corespunzătoare a două soluții ale ecuației . Funcția în acest caz are un punct de șa la origine. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Puncte izolate

Dacă ecuația nu are soluții reale în , adică dacă , atunci originea se numește punct izolat . Pe planul real, originea coordonatelor va fi izolată de curbă, dar pe plan complex, originea coordonatelor nu va fi izolată și va avea două tangente imaginare corespunzătoare a două soluții imaginare ale ecuației . Funcția în acest caz are un extremum local la origine. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Casps

Dacă ecuația are o soluție reală în multiplicitatea 2, adică dacă , atunci originea se numește cusp , sau cusp . Curba în acest caz își schimbă direcția în punctul singular, formând un cuspid. Curba de la origine are o singură tangentă, care poate fi interpretată ca două tangente coincidente. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Clasificare ulterioară

Termenul nod ( nodul englezesc ) este folosit ca denumire generală pentru punctele izolate și punctele de auto-intersecție. Numărul de noduri și numărul de cuspizi ale unei curbe sunt doi invarianți utilizați în formulele lui Plücker .

Dacă una dintre soluțiile ecuației este și o soluție a ecuației , atunci ramura corespunzătoare a curbei are o inflexiune la origine. În acest caz, originea coordonatelor se numește punctul de autotangență . Dacă ambele ramuri au această proprietate, atunci este un divizor , iar originea se numește punct biflektoidal (punct de contact dublu). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2))$ ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3))$

Puncte multiple

În cazul general, când toți termenii cu grad mai mic decât sunt egali cu zero și cu condiția ca cel puțin un termen cu grad să nu fie egal cu zero, spunem că curba are un punct multiplu de ordin k . În acest caz, curba are tangente la origine, dar unele dintre ele pot fi imaginare sau pot coincide. [3] $k$ $k$ $k$

Curbe parametrice

O curbă parametrică în R 2 este definită ca imaginea funcției g : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). Punctele singulare ale unei astfel de curbe sunt punctele în care

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Multe curbe pot fi specificate în ambele vederi, dar cele două atribuiri nu sunt întotdeauna de acord. De exemplu, cuspidul poate fi găsit atât pentru curba algebrică x 3 − y 2 = 0 cât și pentru curba parametrică g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Ambele definiții ale curbei dau un punct singular la origine. Totuși, punctul de autointersecție curbei y 2 − x 3 − x 2 = 0 la origine este singular pentru o curbă algebrică, dar când g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t ) 2 −1)) este specificat parametric, derivatele perechii g ′( t ) nu dispar niciodată și, prin urmare, punctul nu este singular în sensul de mai sus.

Trebuie avut grijă atunci când alegeți parametrizarea. De exemplu, linia y = 0 poate fi definită parametric ca g ( t ) = ( t 3 , 0) și va avea un punct singular la origine. Dacă, totuși, este parametrizat ca g ( t ) = ( t , 0), nu va avea puncte singulare. Astfel, este mai corect din punct de vedere tehnic să vorbim despre puncte singulare ale unei mapări netede, mai degrabă decât despre puncte singulare ale unei curbe.

Definițiile de mai sus pot fi extinse la curbele implicite , care pot fi definite ca mulțimea de zerouri f −1 (0) a unei funcții netede arbitrare . Definițiile pot fi extinse și la curbele din spații dimensionale superioare.

Conform teoremei lui Hassler Whitney , [4] [5] orice mulțime închisă din R n este o mulțime de soluții f −1 (0) pentru o funcție netedă f : R n → R . Prin urmare, orice curbă parametrică poate fi definită ca o curbă implicită.

Tipuri de puncte singulare

Exemple de puncte singulare de diferite tipuri:

Punct izolat : x 2 + y 2 \u003d 0,
Intersecția a două drepte : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( cusp ): x 3 − y 2 = 0,
cuspid în formă de cioc: x 5 − y 2 = 0.

Vezi și

Note

↑ Hilton Capitolul II § 1
↑ Hilton Capitolul II § 2
↑ Hilton Capitolul II § 3
↑ Brooker și Larden. Germeni diferențiați și catastrofe. — Societatea de matematică din Londra. Note de curs 17. Cambridge. — 1975.
↑ Bruce și Giblin, Curves and singularities , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (copertă)

Literatură

Harold Hilton. Curbe algebrice plane . — Oxford, 1920.