Formula Plücker

Formula Plücker face parte dintr-o familie de formule dezvoltată de matematicianul și fizicianul german Plücker în anii 1830. Formulele raportează unele invariante ale curbelor algebrice și invarianții curbelor lor duale . Un invariant numit gen , care este comun atât cu o curbă, cât și cu curba sa duală, este legat de alți invarianți prin formule similare. Aceste formule și faptul că fiecare dintre acești invarianți trebuie să fie un întreg pozitiv impun restricții stricte asupra valorilor posibile ale invarianților.

Invarianții Plücker și ecuațiile de bază

O curbă în acest context este dată de o ecuație algebrică nedegenerată în plan proiectiv complex . Liniile din acest plan corespund punctelor din planul proiectiv dual , în timp ce liniile tangente la o curbă algebrică dată C corespund punctelor din curba algebrică C * , numită curbă duală . Punctele curbei C corespund dreptelor tangente la C * , deci curba duală pentru C * este C .

Primii doi invarianți implicați în formulele Plücker sunt gradul d al curbei C și gradul d * , numit clasa curbei C . Geometric , d este numărul de puncte de intersecție ale unei linii arbitrare și C , inclusiv puncte complexe și puncte la infinit, cu multiplicitatea luată în considerare. Clasa d * este numărul de tangente la C care trec printr-un punct arbitrar din plan. De exemplu, o secțiune conică are atât grad, cât și clasa 2. Dacă curba C nu are puncte singulare , prima formulă a lui Plücker afirmă că

d^{*}=d(d-1),

dar pentru curbele cu puncte singulare, formula trebuie corectată.

Fie δ numărul de puncte duble obișnuite ale curbei C , adică având diferite tangente (astfel de puncte se numesc puncte de auto-intersecție ) sau izolate și κ numărul de cuspizi , adică puncte având un singur tangentă. Dacă curba C are singularități de grad superior, atunci acestea sunt considerate ca mai multe puncte singulare, conform analizei naturii singularității. De exemplu, un punct triplu obișnuit contează ca trei puncte duble. Din nou, punctele imaginare și punctele de la infinit contează și ele. Forma rafinată a primei egalități Plücker are forma

d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .

În mod similar, fie δ * numărul de puncte duble obișnuite și κ * numărul de cuspizi ale curbei C * . A doua formulă a lui Plücker afirmă că

\kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .

Punctul dublu obișnuit din punct de vedere geometric al curbei C * este o linie dreaptă tangentă la curbă în două puncte ( bitangental ), iar vârful curbei C * este punctul de inflexiune .

Primele două ecuații Plücker au versiuni duale:

d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},

\kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.

Aceste patru egalități nu sunt, de fapt, independente, așa că oricare trei pot fi folosite pentru a obține o patra. Dacă oricare trei dintre cei șase invarianți d , d * , δ, δ * , κ și κ * sunt date , atunci restul de trei pot fi calculate din ei.

În cele din urmă, genul geometric al curbei C poate fi determinat prin formula

g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .

Această egalitate este echivalentă cu dualul

g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}

În total, avem patru ecuații independente cu șapte necunoscute și, având în vedere trei necunoscute, restul de patru pot fi calculate.

Curbe fără puncte speciale

Un caz special important este atunci când curba C nu are puncte singulare, adică δ și κ sunt egale cu 0, astfel încât invarianții rămași pot fi calculați numai în termeni d :

d^{*}=d(d-1)

\delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)

\kappa ^{*}=3d(d-2)

g={1 \over 2}(d-1)(d-2).

De exemplu, un quartic plat fără puncte singulare are genul 3, 28 de bitangenți și 24 de puncte de inflexiune.

Tipuri de curbe

Curbele sunt clasificate în tipuri în funcție de invarianții lor Plücker. Ecuațiile Plücker, împreună cu restricția conform căreia invarianții trebuie să fie numere naturale, limitează sever numărul de tipuri posibile de curbe de un anumit grad. Curbele echivalente proiectiv trebuie să fie de același tip, dar curbele de același tip nu sunt, în general, echivalente proiectiv. Curbele de gradul 2 - secțiuni conice - au un singur tip, dat de egalitățile d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.

Pentru curbele de gradul 3 sunt posibile trei tipuri cu invarianți [1]

Tip de	d	d *	δ	κ	* _	g
(i)	3	6	0	0	9	unu
(ii)	3	patru	unu	0	3	0
(iii)	3	3	0	unu	unu	0

Curbele de tipurile (ii) și (iii) sunt curbe cubice raționale, cu un punct dublu obișnuit și, respectiv, un cuspid. Curbele de tip (i) nu au puncte singulare ( curbe eliptice ).

Pentru curbele de gradul 4, există 10 tipuri posibile cu invarianți [2]

Tip de	d	d *	δ	δ *	κ	* _	g
(i)	patru	12	0	28	0	24	3
(ii)	patru	zece	unu	16	0	optsprezece	2
(iii)	patru	9	0	zece	unu	16	2
(iv)	patru	opt	2	opt	0	12	unu
(v)	patru	7	unu	patru	unu	zece	unu
(vi)	patru	6	0	unu	2	opt	unu
(viii)	patru	6	3	patru	0	6	0
(viii)	patru	5	2	2	unu	patru	0
(ix)	patru	patru	unu	unu	2	2	0
(X)	patru	3	0	unu	3	0	0

Note

↑ Harold Hilton. Curbe algebrice plane. - Oxford, 1920. - P. 201.
↑ Hilton, p. 264

Link -uri

Griffiths F., Harris J. Principiile geometriei algebrice. - 1982. - T. 1-2, per. din engleza..
Kleiman S.L. Succes la matematică. Științe. - 1980. - T. 35 , nr. 6 . - S. 69-148 .
Savelov A.A. Curbe plate. Sistematică, proprietăți, aplicații. - Moscova: Editura de stat de literatură fizică și matematică, 1960.
Somon, George . A Treatise on the Higher Plane Curves , 1879, pp. 64 și urm.