Sistem de coordonate parabolice

Coordonatele parabolice sunt un sistem de coordonate ortogonal într-un plan în care liniile de coordonate sunt parabole confocale . O versiune tridimensională a acestui sistem de coordonate este obținută prin rotirea parabolelor în jurul axei lor de simetrie.

Coordonatele parabolice au găsit numeroase aplicații în fizica matematică, în special, în teoria efectului Stark și problema potențialului în apropierea unui unghi.

Coordonate parabolice bidimensionale

Coordonatele parabolice bidimensionale sunt definite de expresii $(\sigma,\;\tau )$

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {matrice}}\dreapta.$

Suprafețele constante sunt parabole confocale $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

extinzându-se în sus (de-a lungul razei ), iar suprafețele constantei sunt parabole confocale $+y$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

extinzându-se în jos (de-a lungul fasciculului ). Focarele tuturor parabolelor sunt situate la origine. $-y$

Caracteristici diferențiale ale coordonatelor bidimensionale

Coeficienții Lame pentru coordonatele parabolice sunt

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2)}}.

Deci elementul zonă este

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

iar laplacianul este

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \ sigma ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2))}\right).

Alți operatori diferențiali pot fi găsiți în mod similar prin înlocuirea coeficienților Lamé în formula generală corespunzătoare.

Coordonate parabolice tridimensionale

Pe baza coordonatelor parabolice bidimensionale, se construiesc două tipuri de coordonate tridimensionale. Primele sunt obținute prin proiecție simplă pe un plan de-a lungul unei axe și se numesc coordonate parabolice cilindrice . $X Y$ $z$

Al doilea sistem de coordonate, numit și „coordonate parabolice”, este construit pe baza paraboloizilor de revoluție, obținuți prin rotirea parabolelor în jurul axei lor de simetrie.

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2)}(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}

Axa paraboloizilor coincide cu axa , deoarece rotația se realizează în jurul acesteia. Unghiul de azimut este definit ca $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi = {\frac {y}{x)).

Suprafețele constante sunt paraboloizi confocali $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

îndreptate în sus (de-a lungul razei ), iar suprafețele constantei sunt paraboloizi confocali $+z$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

îndreptat în jos (de-a lungul fasciculului ). Focarele tuturor paraboloizilor sunt situate la origine. $-z$

Caracteristici diferențiale ale coordonatelor tridimensionale

Coeficienți lame în cazul tridimensional:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2)}},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi}=\sigma \tau .

După cum se poate observa, coeficienții și coincid cu cazul bidimensional. Elementul de volum este $H_{\sigma }$ $H_{\tau }$

dV=h_{\sigma}h_{\tau }h_{\varphi}=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,

iar laplacianul este

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2)}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2))}.

Alți operatori diferențiali, cum ar fi divergența sau curl , pot fi găsiți în mod similar prin înlocuirea coeficienților Lame în formula generală corespunzătoare.

Simboluri Christoffel de al doilea fel:

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau )),\\Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma )}.

Restul personajelor sunt zero.

Transformări inverse

Trecerea de la coordonatele carteziene la coordonatele parabolice se realizează după formulele: $(x,\;y,\;z)$ $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$

{\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}

în care $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

La , obținem restricția de coordonate la plan : $\varphi=0$ $XZ$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.

Linia de nivel : $\eta =c$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Aceasta este o parabolă , al cărei focus, pentru orice , este situat la origine. $c$

La fel, când primim $\xi =c$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

Parabolele de coordonate se intersectează într-un punct

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\right).

O pereche de parabole se intersectează în două puncte, dar pentru , punctul este conținut în semiplanul , deoarece îi corespunde . $\varphi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Aflați pantele tangentelor la parabole în punctul : $P$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c)}}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Deoarece produsul coeficienților este −1, parabolele sunt perpendiculare în punctul de intersecție. Astfel, coordonatele parabolice se dovedesc a fi ortogonale.

Perechea determină coordonatele în semiplan. La schimbarea de la 0 la semiplanul se rotește în jurul axei , se obțin paraboloizi de revoluție și semiplanuri ca suprafețe de coordonate. O pereche de paraboloizi opuși definește un cerc, iar o magnitudine definește un semiplan care intersectează cercul într-un singur punct. Coordonatele sale carteziene sunt: $(\xi ;\;\eta )$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Link- uri externe

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric