Paradoxul lui Ehrenfest

Paradoxul lui Ehrenfest este un experiment de gândire care ia în considerare un disc care se rotește cu viteza aproape de lumină.

În sens modern, arată incompatibilitatea unor concepte ale mecanicii clasice cu teoria relativității speciale, precum și posibilitatea unor definiții diferite ale conceptelor de timp și distanță în cadre de referință rotative.

Acest paradox a fost prezentat de Ehrenfest în 1909 , după ce Einstein a dezvoltat teoria specială a relativității .

Esența paradoxului

Luați în considerare un cerc (sau un cilindru gol ) care se rotește în jurul axei sale. Deoarece viteza fiecărui element al cercului este direcționată tangențial, atunci el (cercul) trebuie să experimenteze contracția lui Lorentz , adică dimensiunea sa pentru un observator extern trebuie să pară mai mică decât lungimea proprie .

Dacă un cerc are o rază , atunci pentru un observator extern lungimea sa este . $R$ $2\pi R$

Cu toate acestea, având în vedere contracția Lorentz, circumferința adecvată va fi mai mare:

l={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-(v/c)^{2))))}={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-\left (\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}}},

unde este frecvența circulară , este viteza luminii . $\omega$ $c$

Astfel, un cerc rigid inițial imobil, după ce este deztors, trebuie paradoxal să-și micșoreze raza pentru a-și menține lungimea.

Conform raționamentului lui Ehrenfest, un corp absolut rigid nu poate fi adus în mișcare de rotație [1] , deoarece nu ar trebui să existe compresie Lorentz în direcția radială. În consecință, discul, care era plat în repaus , trebuie să-și schimbe cumva forma atunci când este deztors.

Analiză teoretică

Rotația în relativitate

Luați în considerare două sisteme de referință cu o axă comună . Fie este inerțială și se rotește cu o viteză unghiulară constantă în raport cu axa . În sistemul de referință , luați în considerare un cerc centrat la origine în plan . În sistemul de referinţă , poate fi considerat ca un cerc centrat la origine în plan . Măsurătorile circumferinței și diametrului acesteia în sistem în conformitate cu geometria euclidiană în cadrul de referință inerțial vor da raportul lor egal cu . Măsurătorile circumferinței și diametrului acestuia în sistem , din punctul de vedere al unui observator din sistem , datorită contracției Lorentz a scalei aplicate de-a lungul cercului și invarianței scării aplicate radial, vor da raportul lor mai mic decât . Adică, din punctul de vedere al unui observator din sistem , raportul dintre circumferință și diametru va fi mai mare . De asemenea, din punctul de vedere al unui observator din sistem , mersul unui ceas situat pe un cerc în sistem va fi încetinit din cauza mișcării lor față de sistem . Aceasta înseamnă că într-un cadru de referință non-inerțial metrica spațiu-timp este non-euclidiană [2] [3] [4] . Din punctul de vedere al observatorului din cadrul de referință, curbura spațiului-timp se explică prin câmpul gravitațional care acționează în acest cadru de referință, din punct de vedere al cadrului de referință - prin mișcarea accelerată a punctelor de cercul ( principiul echivalenței forțelor gravitaționale și de inerție ). [2] [4] Una dintre consecințele concluziilor din acest experiment mental este imposibilitatea în teoria generală a relativității a imobilității reciproce a unui sistem de corpuri, inclusiv imposibilitatea existenței unor corpuri absolut rigide (paradoxul lui Ehrenfest) . [3] $K,K'$ $z$ $K$ $K'$ $K$ $z$ $K$ $X y$ $K'$ $x'y'$ $K$ $\pi$ $K'$ $K$ $\pi$ $K'$ $\pi$ $K$ $K'$ $K$ $K'$ $K'$ $K$

Raționamentul lui Ehrenfest arată imposibilitatea aducerii în rotație a unui corp absolut rigid (inițial în repaus).

Cu toate acestea, nu respinge existența unor discuri rigide care se rotesc uniform. Cu toate acestea, geometria lor spațială trebuie să fie diferită de cea euclidiană .

Descrierea spațiu-timp a unui astfel de disc este posibilă folosind coordonatele Born , cu toate acestea, fluxul de timp pe acesta va diferi de cel galileian.

Viteza timpului va depinde de distanța până la centru, iar vitezele înainte și înapoi ale luminii în direcția de rotație în coordonatele Born vor fi diferite (vezi și efectul Sagnac ). Se dovedește a fi imposibil să construiești un sistem de coordonate spațiu-timp ortogonal atașat la un disc rotativ.

Cu toate acestea, se dovedește a fi posibilă definirea corectă a distanței pe un disc rotativ în sensul unei metrici riemanniane .

Geometria unui disc rotativ

Folosind coordonatele Born, ne putem determina propria distanță între punctele [5] foarte apropiate ale discului. Ele pot fi reprezentate, de exemplu, de molecule sau atomi vecini din metalul din care este realizat discul.

Local, distanța se dovedește a fi aranjată exact așa cum credea Ehrenfest: de-a lungul cercurilor, distanța adecvată depășește distanța aparentă exact conform legii contracției Lorentz, iar în direcția razelor se dovedește a fi neschimbată, adică , egală cu diferența razelor.

Calculele arată că un disc care se rotește, deși se presupune că se află într-un plan, trebuie (în ceea ce privește propria geometrie) să fie o suprafață cu curbură negativă .

Dacă considerăm că corpul rotativ considerat are o grosime, atunci de-a lungul lui (adică în direcția de- a lungul axei de rotație ), precum și în direcții radiale, nu există nicio diferență între distanța naturală și cea aparentă. Prin urmare, în coordonate , metrica tuturor celor trei dimensiuni ale spațiului va arăta astfel: $(\varphi ,\;r,\;z)$

{\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr ^{2}+dz^{2}.

Paradoxul lui Ehrenfest și relativitatea generală

Rezolvarea „paradoxului” în forma sa modernă implică astfel de aparate matematice precum coordonatele curbilinie și geodezice , caracteristice relativității generale . Cu toate acestea, deși conceptele de relativitate generală sunt destul de aplicabile în acest caz, trebuie avut în vedere că paradoxul Ehrenfest este considerat într-un spațiu Minkowski plat, necurbat . Rotirea unui disc într-un câmp gravitațional va prezenta o altă problemă.

Interpretare fizică

Rotația aproape ușoară a unui corp solid poate fi observată cu greu în practică, deoarece forța centrifugă ar trebui să conducă (pentru un disc care nu este susținut de alte forțe decât forța proprie) la solicitări de ordinul densității materialului înmulțit cu , pe care nicio substanță sau material nu le poate rezista. $c^{2}$

Dacă, totuși, forța centrifugă este compensată de câmpul gravitațional (cum se întâmplă, de exemplu, la pulsari ), atunci vom depăși aplicabilitatea SRT, iar geometria corpului, aparent, se va schimba într-un mod diferit decât descris mai sus.

Când discul de rotire atinge o viteză de rotație moderată, forma sa se schimbă mult mai puternic din cauza deformațiilor elastice decât datorită efectelor SRT. Efectul relativist Ehrenfest ar trebui să mărească doar puțin întinderea longitudinală (de-a lungul direcției de rotație) a materialului discului.

Vezi și

Note

↑ Fizica, partea 2. Enciclopedia pentru copii. Volumul 16. P. 123. ISBN 5-8483-0030-5 .
↑ 1 2 A. Einstein , L. Infeld Evoluția fizicii. - M.-L., Tekhteorizdat, 1948. - p. 208-216
↑ 1 2 L. D. Landau , E. M. Lifshits Field Theory. - M., Nauka, 1967. - p. 294-295
↑ 1 2 Clement Durell ABC-ul teoriei relativității. - M. , Mir , 1964. - p. 135-138
↑ Strict vorbind, viteza relativă a acestor două puncte trebuie să fie mult mai mică decât viteza luminii, în limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice.