În matematică , un politop de permutare de ordinul n este un politop convex ( n − 1)-dimensional încorporat într-un spațiu euclidian n - dimensional care este învelișul convex al tuturor n ! puncte obținute prin permutarea coordonatelor vectorului (1, 2, 3, ..., n ).
Potrivit lui Ziegler, Günther [1] , poliedrul de permutare apare pentru prima dată în lucrările lui Schute în 1911. Termenul „poliedru de permutare” în sine (mai precis, versiunea sa franceză „permutoèdre”) a apărut pentru prima dată într-un articol de Guibud (G.-T.Guibaud) și Rosenstahl , Pierre în 1963. Sugerând-o, autorii au scris că „permutoèdre” pare barbar, dar este ușor de reținut și că lasă folosirea termenului în seama cititorului.
Un concept strâns legat este poliedrul Birkhoff , definit ca învelișul convex al matricelor de permutare . Într-o situație mai generală, Bowman (V.-J.Bowman) în 1972 a folosit termenul de „politop de permutare” („politop de permutare”) pentru orice politop ale cărui vârfuri sunt în corespondență unu-la-unu cu permutările unui set.
Un politop de permutare de ordinul n este complet continut in hiperplanul ( n − 1)-dimensional format din toate punctele a caror suma de coordonate este
1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/2.Mai mult, acest hiperplan poate fi placat cu un număr infinit de copii paralele ale poliedrului de permutare. Fiecare dintre aceste copii diferă de poliedrul de permutare original printr-un element al unei rețele ( n − 1)-dimensionale formate din vectori n -dimensionali , toate coordonatele cărora sunt numere întregi, suma lor este egală cu zero și toate coordonatele aparțin aceeași clasă de reziduuri modulo n :
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n ).De exemplu, poliedrul de permutare de ordinul 4 prezentat în figură teselează spațiul tridimensional prin translații paralele. Aici spațiul tridimensional este considerat ca un subspațiu afin al spațiului tridimensional R 4 cu coordonatele x , y , z , w , care este format din patru numere reale, a căror sumă este 10, adică.
x + y + z + w = 10.Este ușor de verificat pentru fiecare dintre următorii patru vectori
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) și (−3,1,1,1),suma coordonatelor este zero și toate coordonatele sunt congruente cu 1 modulo 4. Oricare trei dintre acești vectori generează o rețea de translații paralele.
Placile construite în acest mod din poliedre de permutare de ordinul 3 și 4 sunt plăci hexagonale regulate și , respectiv, plăci octaedrice trunchiate .
| Comanda 2 | Comanda 3 | Comanda 4 |
|---|---|---|
| 2 vârfuri | 6 vârfuri | 24 de vârfuri |
| Un poliedru de permutare de ordinul 2 este un segment pe diagonala pătratului unității . | Un poliedru de permutare de ordinul 3 este un hexagon regulat , care este o secțiune a unui cub de 2×2×2 . | Un poliedru de permutare de ordinul 4 este un octaedru trunchiat . |
| Comanda 5 | Ordinul 6 |
|---|---|
| 120 de vârfuri | 720 de vârfuri |
| Poliedru de permutare de ordinul 5. | Poliedru de permutare de ordinul 6. |