Pătrat unitar

Un pătrat unitar  este un pătrat a cărui latură este un segment unitar . Pătratul unității este o unitate de suprafață . Uneori se cere ca în coordonate dreptunghiulare colțul din stânga jos al pătratului unității să fie la originea coordonatelor, iar laturile sale să fie paralele cu axele de coordonate. În acest caz, vârfurile sale au coordonatele , și .

Definiții

Adesea, un pătrat unitar înseamnă orice pătrat cu latura 1.

Dacă este dat un sistem de coordonate dreptunghiular , atunci acest termen este adesea folosit într-un sens mai restrâns: un pătrat unitar este o mulțime de puncte, ale căror coordonate ( x și y ) se află între 0 și 1 :

Cu alte cuvinte, pătratul unitar este produsul direct I × I , unde I  este segmentul unitar .

În planul complex , un pătrat unitar înseamnă un pătrat cu vârfurile 0 , 1 , 1 + i și i [1] .

Unitate de suprafață

Unitatea de pătrat este o unitate de măsură pentru aria unei figuri. A măsura aria unei figuri înseamnă a găsi raportul dintre aria figurii și aria unui pătrat unitar, adică de câte ori poate fi așezat un pătrat unitar într-o anumită figură. [2] . Există toate motivele să credem că zona a fost determinată de matematica Babilonului antic [3] . În „ Principii ” , Euclid nu avea o unitate de lungime, ceea ce înseamnă că nu exista conceptul de unitate de pătrat. Euclid nu a măsurat zonele cu numere, ci a luat în considerare raporturile dintre zonele între ele [4] .

Proprietăți

• Aria unui pătrat unitar este 1, perimetrul  este 4, iar diagonala  este .
• Pătratul unitar este un „cerc” cu diametrul 1 în sensul normei uniforme ( ), adică ansamblul punctelor care sunt situate la o distanță de 1/2 în sensul normei uniforme de centrul cu coordonate. (1/2, 1/2) este un pătrat unitar [5 ] .
• Cantor a demonstrat că există o corespondență unu-la-unu între segmentul unității și pătratul unității. Acest fapt este atât de contraintuitiv încât Cantor i-a scris lui Dedekind în 1877 : „Văd, dar nu cred” [6] [7] .
• Un fapt și mai surprinzător a fost descoperit de Peano în 1890: se dovedește că există o mapare continuă a unui segment pe un pătrat. Un exemplu de astfel de mapare este curba Peano , primul exemplu de curbă de umplere a spațiului. Curba Peano specifică o mapare continuă a unui segment de unitate pe un pătrat, astfel încât pentru fiecare punct al pătratului să existe un punct corespunzător al segmentului [8] .
• Cu toate acestea, nu există o mapare continuă unu-la-unu de la un segment la un pătrat. Curba Peano conține mai multe puncte, adică trece prin unele puncte ale pătratului de mai multe ori. Astfel, curba Peano nu definește o corespondență unu-la-unu. De fapt, este ușor de demonstrat că un segment nu este homeomorf unui pătrat, ceea ce înseamnă că este imposibil să se evite mai multe puncte [9] .

Deschide problema

Nu se știe (din 2011) dacă există un punct în plan astfel încât distanța până la orice vârf al pătratului unității să fie un număr rațional . Cu toate acestea, se știe că un astfel de punct nu există la limita pătratului [10] [11] .

Vezi și

• sfera unitară
• cerc unitar
• cub unitar

Note

1. ^ Weisstein , Eric W. Unit Square  pe site-ul Wolfram MathWorld .
2. ↑ Valery Gusev, Alexander Mordkovici. Matematică: un ghid educațional și de referință . Litri, 10-06-2016. - S. 436. - 674 p. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter Strom Rudman. Cum s-a întâmplat matematica: primii 50.000 de ani . — Prometheus Books, 2007-01-01. - S. 108. - 316 p. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saul Stahl. Geometrie de la Euclid la Noduri . — Courier Corporation, 23-05-2012. — S. 99-100. — 481 p. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Aproximarea sistemelor dinamice la scară largă . — SIAM, 25-06-2009. - S. 29. - 489 p. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Serghei Demenok. Fractal: Între mit și meșteșug . — Litri, 08-06-2016. - S. 156. - 298 p. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. Fundamentele matematicii: 1800 până la 1900 . - Editura Infobase, 2006. - S. 104-105. — 177 p. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Serghei Sizy. Probleme de matematică. Olimpiadele studențești ale Facultății de Matematică și Mecanică a Universității de Stat din Ural . — Litri, 14-04-2016. - S. 34. - 128 p. — ISBN 9785040047086 . Arhivat pe 7 aprilie 2022 la Wayback Machine
9. ↑ Alexander Shen, Nikolai Vereșchagin. Prelegeri despre logica matematica si teoria algoritmilor. Partea 1. Începuturile teoriei mulțimilor . Litri, 2015-11-13. - S. 19. - 113 p. — ISBN 9785457918795 . Arhivat pe 7 aprilie 2022 la Wayback Machine
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Probleme nerezolvate în teoria numerelor, vol. 1 (ed. a 2-a), Springer-Verlag, p. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (martie 2011), The rational distance problem , Mathematical Gazette vol . 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > din decembrie 24, 2015 la Wayback Machine . 

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .