Parchet hexagonal

Mozaic hexagonal
Tip de	Mozaic corect
Figura de vârf	6.6.6 (6 3 )
Simbolul Schläfli	{6,3} t{3,6}
Simbol Wythoff	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Diagrama Coxeter
Grupul de simetrie	p6m , [6,3], (*632)
Simetria rotațională	p6 , [6,3] + , (632)
Placare dublă	mozaic triunghiular
Proprietăți	Vertex-tranzitiv , margine-tranzitiv , face-tranzitiv

Parchetul hexagonal ( parchet hexagonal [1] ) sau mozaicul hexagonal este o placare a unui plan cu hexagoane regulate egale situate una în alta.

Plasarea hexagonală este duala plăcirii triunghiulare - dacă conectați centrele hexagoanelor adiacente, atunci segmentele desenate vor forma o placare triunghiulară [1] [2] . Simbolul Schläfli al unui parchet hexagonal este {6,3} (înseamnă că trei hexagoane converg la fiecare vârf al parchetului) sau t {3,6} dacă placarea este considerată o placă triunghiulară trunchiată.

Matematicianul englez Conway a numit tiling hextille (șase parchet).

Unghiul interior al unui hexagon este de 120 de grade, deci trei hexagoane la același vârf se adună până la 360 de grade. Acesta este unul dintre cele trei plăci plane obișnuite . Celelalte două mozaicuri sunt parchet triunghiular și parchet pătrat .

Aplicații

Plasarea planului cu hexagoane obișnuite stă la baza șahului hexagonal și a altor jocuri pe teren în carouri , polihexuri , variante ale modelului Life și alte automate celulare bidimensionale , flexagoane inelare etc.

Placarea hexagonală este cea mai densă modalitate de a împacheta cercuri în spațiul 2D. Conjectura de tip fagure că o placă hexagonală este cea mai bună modalitate de a împărți o suprafață în zone de suprafață egală cu cel mai mic perimetru total. Structura tridimensională optimă pentru faguri (mai degrabă bule de săpun) a fost explorată de Lord Kelvin , care credea că structura Kelvin (sau rețeaua cubică centrată pe corp ) este optimă. Cu toate acestea, structura mai puțin obișnuită Waeaire–Phelan este puțin mai bună.

Această structură există în natură sub formă de grafit , unde fiecare strat de grafen seamănă cu o plasă de sârmă, unde rolul firului este jucat de legături covalente puternice. Foile tubulare de grafen au fost sintetizate și sunt cunoscute sub numele de nanotuburi de carbon . Au multe aplicații potențiale datorită rezistenței lor ridicate la tracțiune și proprietăților electrice. Silicenul este similar cu grafenul .

• Cel mai dens pachet de cercuri are o structură asemănătoare unei plăci hexagonale

• Plasa pentru pui

• Grafen

• Nanotuburile de carbon pot fi privite ca un mozaic hexagonal pe o suprafață cilindrică

Mozaicul hexagonal apare în multe cristale. În spațiul 3D, o structură cubică centrată pe față și o structură hexagonală compactă se găsesc adesea în cristale. Sunt cele mai dense sfere din spațiul 3D. Din punct de vedere structural, ele constau din straturi paralele ale unui mozaic hexagonal similar cu structura grafitului. Ele diferă prin tipul de schimbare a nivelului unul față de celălalt, în timp ce structura cubică centrată pe față este mai corectă. Cuprul pur , printre alte materiale, formează o rețea cubică centrată pe față.

Colorații uniforme

Există trei colorări uniforme diferite ale plăcilor hexagonale, toate obținute din simetria în oglindă a construcțiilor lui Wythoff . Intrarea ( h , k ) reprezintă o repetare periodică a unei plăci colorate cu distanţele hexagonale h şi k .

k-omogen	1- omogen			2- omogen		3- omogen
Simetrie	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Imagine
Culori	unu	2	3	2	patru	2	7
(h,k)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
coxeter
Conway	H	tΔ		CH

O placă cu 3 culori este formată dintr-un poliedru de permutare de ordinul 3.

Placare hexagonală teșită

Teșirea unei plăci hexagonale înlocuiește marginile cu noi hexagoane și se transformă într-o altă plăci hexagonală. În limită, fețele originale dispar și noile hexagoane sunt transformate în romburi, transformând placarea într- una rombică .

Hexagoane (H)	Hexagoane teșite (CH)			Rombi (daH)

Mozaicuri înrudite

Hexagoanele pot fi împărțite în 6 triunghiuri. Rezultă două plăci cu 2 uniforme și o placă triunghiulară :

Mozaic corect	despicare	2-placuri omogene		Mozaic corect
Iniţială		rupte 1/3 hexagoane	2/3 hexagoane sparte	partiție completă

O placă hexagonală poate fi considerată ca o placă rombică alungită , în care fiecare vârf al plăcii rombice este „întins” pentru a forma o nouă margine. Aceasta este similară cu legătura dintre teselații printr-un dodecaedru rombic și un dodecaedru rombic hexagonal în spațiul tridimensional.

mozaic rombic

Mozaic hexagonal

Grilă care arată o astfel de conexiune

De asemenea, se pot împărți prototilele unor plăci hexagonale în două, trei, patru sau nouă pentagoane identice:

Placare pentagonală de tip 1 cu hexagoane regulate suprapuse (fiecare hexagon este format din 2 pentagoane).

Placare pentagonală de tip 3 cu hexagoane regulate suprapuse (fiecare hexagon este format din 3 pentagoane).

Placare pentagonală de tip 4 cu hexagoane semiregulate suprapuse (fiecare hexagon este format din 4 pentagoane).

Plasare pentagonală de tip 3 cu hexagoane regulate suprapuse de două dimensiuni (hexagoanele constau din 3 și 9 pentagoane).

Opțiuni de simetrie

Această placă este legată din punct de vedere topologic de o secvență de plăci obișnuite cu fețe hexagonale care începe cu o placă hexagonală. Mozaicele unei secvențe infinite au simbolul Schläfli {6,n} și diagrama Coxeter .

Familia de antiprisme omogene n .3.3.3

* n 62 de opțiuni de simetrie pentru plăci obișnuite: {6, n }
Sferic	euclidiană	Placuri hiperbolice
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Plasarea hexagonală este legată topologic (ca parte a unei secvențe) de poliedre regulate cu figura de vârf n 3 .

* n 32 de opțiuni de simetrie pentru plăci obișnuite: n 3 sau { n ,3}

Sferic				euclidiană	Compact hiperbolic.		Paracompact .	Hiperbolic necompact.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

În mod similar, placarea este legată de poliedre trunchiate uniforme cu figura de vârf n .6.6.

* n 32 mutații trunchiate simetrie tiling: n .6.6
Simetrie * n 32 [n,3]	sferic		euclidiană	Compact hiperbolic				Paracompact.	Hiperbolic necompact
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Figuri trunchiate
Conf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
figuri n-kis
Conf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Plasarea face parte, de asemenea, din poliedre rombice trunchiate și plăci cu simetrie grupului Coxeter [n,3]. Cubul poate fi privit ca un hexaedru rombic în care toate romburile sunt pătrate. Formele trunchiate au n-gonuri regulate în locul vârfurilor trunchiate și fețe hexagonale neregulate.

Simetrii dual dual cvasiregular tiling: V(3.n) 2

	Sferic			euclidiană	Hiperbolic
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mozaic
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3,5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Construcția lui Wythoff a plăcilor hexagonale și triunghiulare

Ca și poliedre uniforme , există opt plăci uniforme bazate pe plăci hexagonale obișnuite (sau plăci triunghiulare duale ).

Dacă colorăm plăcile fețelor originale în roșu, vârfurile originale (poligoanele rezultate) în galben și marginile originale (poligoane rezultate) în albastru, există 8 forme, dintre care 7 sunt distincte topologic. ( Tigla triunghiulară trunchiată este identică din punct de vedere topologic cu placarea hexagonală.)

Placuri omogene hexagonale/triunghiulare
Domenii fundamentale	Simetrie : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Config.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Placuri hexagonale monoedrice convexe

Există 3 tipuri de plăci hexagonale monoedrice [3] convexe [4] . Toate sunt izoedrice . Fiecare are variante parametrice cu simetrie fixă. Tipul 2 conține simetrii de alunecare și menține perechile chirale distincte.

3 tipuri de plăci hexagonale convexe monoedrice

unu	2		3
p2, 2222	pgg, 22×	p2, 2222	p3.333
b=e B+C+D=360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
grilă din două plăci	grilă de patru plăci		grilă de trei plăci

Tilinge echivalente din punct de vedere topologic

Plasările hexagonale pot fi identice cu topologia {6,3} obișnuită (3 hexagoane la fiecare vârf). Există 13 variante de plăci hexagonale cu fețe izoedrice . Din punct de vedere al simetriei, toate fețele au aceeași culoare, în timp ce colorarea din figuri reprezintă poziția în grilă [5] . Grilele cu o singură culoare (1-tigle) constau din paralelogoane hexagonale .

13 plăci izoedrice hexagonale

pg (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Alte plăci hexagonale izoedrice din punct de vedere topologic apar ca fiind patrulatere și pentagonale, nu se ating dintr-o parte la alta, dar ale căror poligoane pot fi considerate ca având laturi adiacente coliniare:

Patrulatere izoedrice

pmg (22*)		pgg (22x)			cmm (2*22)	p2 (2222)
Paralelogram	Trapez	Paralelogram	Dreptunghi	Paralelogram	Dreptunghi	Dreptunghi

Pentagoane cu plăci izoedrice

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

Teselațiile cu 2 și 3 uniforme au un grad de libertate de rotație care deformează 2/3 din hexagoane, inclusiv în cazul laturilor coliniare, care pot fi văzute ca plăci de hexagoane și triunghiuri mari cu laturile nepotrivite (nu de la o parte la alta). -lateral) [6] .

Mozaicul poate fi răsucit în modele chirale de 4 culori împletite în trei direcții, unele dintre hexagoane transformându-se în paralelograme . Modelele împletite cu 2 fețe colorate au 632 (p6) simetrie de rotație .

corect	rotit	corect	legat
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Cercuri de ambalare

O placă hexagonală poate fi folosită pentru a împacheta cercuri , plasând cercuri cu aceeași rază centrate la vârfurile plăcii. Fiecare cerc atinge alte 3 cercuri ale pachetului ( număr de contact ) [7] . Cercurile pot fi vopsite în două culori. Spațiul din fiecare hexagon permite plasarea unui cerc, creând cel mai dens împachetat placare triunghiulară , fiecare cerc atingând cât mai multe cercuri posibil (6).

Infinități complexe regulate înrudite

Există 2 apeirogoane complexe regulate având aceleași vârfuri hexagonale. Marginile apeirogoanelor complexe regulate pot conține 2 sau mai multe vârfuri. Apeirogonii regulați p { q } r au restricția: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Muchiile au p vârfuri iar figurile vârfurilor sunt r - gonuri [8] .

Primul apeirogon este format din 2 muchii, trei în jurul fiecărui vârf, al doilea are muchii hexagonale, câte trei în jurul fiecărui vârf. Al treilea apeirogon complex, care are aceleași vârfuri, este cvasi-regular și alternează între 2 și 6 muchii.

2{12}3 sau	6{4}3 sau

Vezi și

• Rețea hexagonală
• Faguri prismatici triunghiulari
• Mozaice de poligoane regulate convexe pe planul euclidian
• Lista plăcilor uniforme
• Lista poliedrelor și compușilor multidimensionali obișnuiți
• Faguri de mozaic hexagonal

Note

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , p. 147.
2. ^ Weisstein , Eric W. Dual Tessellation  pe site- ul Wolfram MathWorld .
3. ↑ O placă se numește monoedric dacă este formată din plăci congruente.
4. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. Sec. 9.3 Alte plăci monoedrice prin poligoane convexe.
5. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. 473–481, listă cu 107 plăci izoedrice.
6. ↑ Grünbaum și Shephard 1987 , p. gresie uniforme care nu sunt margine la margine.
7. ↑ Critchlow, 1987 , p. 74–75, modelul 2.
8. ↑ Coxeter, 1991 , p. 111-112, 136.

Literatură

• S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Per. din engleza. V. Firsova. cuvânt înainte şi ed. I. Yagloma. - M . : Mir, 1975. - S. 147. - 207 p.
• HSM Coxeter . Politopuri complexe obișnuite. — 2 ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . Tabelul II: Faguri obișnuiți //Politopi obișnuiți . — al 3-lea. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Placuri și modele . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R. Williams. Fundamentul geometric al structurii naturale: o carte sursă de proiectare . - New York: Dover Publications , 1979. - P.  35 . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Simetriile lucrurilor . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arhivatpe 19 septembrie 2010 laWayback Machine
• Keith Critchlow. Order in Space: O carte sursă de design. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
  • Weisstein , Eric W. Teselație obișnuită  la Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Teselare uniformă  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
• Klitzing, Richard. Placuri euclidiene 2D o3o6x-hexat-O3
• Amit Patel. Matematică grilă: pătrat, hexagon, triunghi . — Algoritmi pentru reprezentarea grilelor hexagonale și triunghiulare în jocurile de strategie pe calculator. (nedefinit)

Faguri de miere regulați și uniformi convexe fundamentale în spații de dimensiuni 2–10

Familie // _ Mozaic omogen {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Faguri convexi omogene {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 fagure uniform bidimensional {3 [5] } δ5 _ h5 5 q5 5 Fagure de 24 de celule fagure uniform în șase dimensiuni {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 fagure uniform în șapte dimensiuni {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ fagure uniform opt-dimensional {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 fagure uniform nou-dimensional {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Faguri uniformi n -dimensionali {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

mozaicuri geometrice
Periodic	pitagoreică Rombic Triunghiul Schwartz dreptunghiular Domino Pentagonal Mozaic omogen Faguri Colorat convex Mozaic divizat Grup cristalografic plat Construcția Wythoff
Aperiodic	Ammann-Binker Set aperiodic de mozaic Listă O singură provocare Sokolara — Taylor Gilbert Penrose roată Domed Seturi de împărțire și auto -lipire Sfinx Truche
Alte	Non- izoedric și izoedric Arhitectural și reflectorizant Circle Limit III Grafică pe computer fagurii Marginea tranzitivă Pachet Sarcini Van heesh pătrarea Placi de mozaic criteriul lui Conway Girih Împărțirea regulată a avionului zăbrele obișnuite Înlocuiri Diagrama Voronoi Foderberg
Prin configurarea vârfurilor	Sferic 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ Corect 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 semi -corect 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2 hiperbolic _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3,7) 2 (3,8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4,5) 2 (4,6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4,7) 2 (4,8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6,8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2