Funcția periodică

O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile la un interval regulat al argumentului, adică nu își schimbă valoarea atunci când un număr fix diferit de zero ( perioada funcției) este adăugat la argument peste întregul domeniu de definire.

Mai formal, o funcție se numește periodică cu o perioadă dacă pentru fiecare punct din domeniul său de definiție, punctele și , de asemenea, aparțin domeniului său de definiție, iar egalitatea este adevărată pentru ele . $T\neq 0$ $X$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

Pe baza definiției, egalitatea este valabilă și pentru o funcție periodică , unde este orice număr întreg. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice.

Definiție formală

Să fie un grup abelian (de obicei se presupune - numere reale cu operația de adunare sau - numere complexe ). O funcție (unde este o mulțime arbitrară a valorilor sale) se numește periodică cu o perioadă dacă $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\la N$ $N$ $T\nu=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\în M

Dacă această egalitate nu este satisfăcută pentru niciunul , atunci funcția se numește aperiodic . $T\în M,\,T\nu =0$ $f$

Dacă pentru o funcție există două perioade , al căror raport nu este egal cu un număr real , adică , atunci se numește funcție dublu periodică . În acest caz, valorile din întregul plan sunt determinate de valorile din paralelogramul acoperit de . $f:\mathbb {C} \la N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\nu \in \mathbb {R}$ $f$ $f$ $T_{1},T_{2}$

Notă

Perioada funcției este definită ambiguu. În special, dacă este o perioadă, atunci orice element al formei (sau , dacă operația de înmulțire este definită în domeniul funcției), unde este un număr natural arbitrar , este de asemenea o perioadă. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\în \mathbb {N}$

Mulțimea tuturor perioadelor unei funcții formează un grup aditiv .

Totuși, dacă setul de perioade are cea mai mică valoare, atunci se numește perioada principală (sau principală) a funcției. $\{T,T>0,T\in \mathbb {R} \)$

Exemple

Funcțiile reale sinus și cosinus sunt periodice cu o perioadă principală de atunci $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt periodice cu o perioadă principală . $\pi$

Funcția definită pe numere întregi este periodică cu perioada principală . $f(x)=(-1)^{x}$ $2$

O funcție egală cu o constantă este periodică, iar orice număr diferit de zero este perioada sa. Funcția nu are punct principal. $f(x)=\mathrm {const}$

Funcția Dirichlet este periodică; perioada sa este orice număr rațional diferit de zero. De asemenea, nu are o perioadă principală.

Funcția este aperiodică. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

Câteva caracteristici ale funcțiilor periodice

Suma a două funcții cu perioade comparabile și nu este întotdeauna o funcție cu o perioadă principală egală cu cel mai mic multiplu comun și (cu toate acestea, acest număr va fi pur și simplu o perioadă). De exemplu, perioada principală a funcției este , perioada funcției este , iar suma lor are în mod evident perioada principală . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Suma a două funcții cu perioade incomensurabile nu este întotdeauna o funcție neperiodică.

Există funcții periodice care nu sunt egale cu o constantă ale cărei perioade sunt numere incomensurabile. De exemplu, pentru o funcție care ia valorile 1 pentru x algebric și 0 în alte cazuri, orice număr algebric este o perioadă, iar printre numerele algebrice există și unele incomensurabile. $f(x)$

Vezi și

Funcție cvasi-periodică

Link -uri

Funcția periodică (Marea Enciclopedie Sovietică)