Avion

Planul este unul dintre conceptele fundamentale în geometrie . Într-o prezentare sistematică a geometriei, conceptul de plan este de obicei luat ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinat doar indirect de axiomele geometriei. În strânsă legătură cu planul, se obișnuiește să se ia în considerare punctele și liniile care îi aparțin ; ele sunt, de regulă, introduse și ca concepte nedefinite, ale căror proprietăți sunt precizate axiomatic [1] .

Unele proprietăți caracteristice ale planului

Un plan este o suprafață care conține complet fiecare linie care leagă oricare dintre punctele sale ;
Două plane sunt fie paralele , fie se intersectează în linie dreaptă.
O linie dreaptă este fie paralelă cu un plan, fie o intersectează într-un punct, fie este pe un plan.
Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele unul cu celălalt.

Ecuații plane

Găsit pentru prima dată în A. K. Clairaut ( 1731 ).

Ecuația planului în segmente, aparent, a fost întâlnită pentru prima dată de G. Lame ( 1816-1818 ) .

Ecuația normală a fost introdusă de L. O. Hesse ( 1861 ).

Un plan este o suprafață algebrică de ordinul întâi : într-un sistem de coordonate carteziene, un plan poate fi definit printr-o ecuație de gradul întâi.

Ecuația generală (completă) a planului

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

unde și sunt constante, în plus, și nu sunt egale cu zero în același timp; sub forma vectoriala : $A,B,C$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

unde este vectorul raza punctului , vectorul este perpendicular pe plan (vector normal). Cosinusuri de direcție vectorială : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Dacă unul dintre coeficienții din ecuația plană este zero, se spune că ecuația este incompletă . Pentru , planul trece prin originea coordonatelor , pentru (sau , ) planul este paralel cu axa (respectiv , sau ). Pentru ( , sau ), planul este paralel cu planul ( sau , respectiv ). $D=0$ $A=0$ $B=0$ $C=0$ $Bou$ $Oi$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

Ecuația unui plan în segmente:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

unde , , sunt segmentele tăiate de plan pe axe și . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vectorul normal : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

sub forma vectoriala:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date care nu se află pe o singură dreaptă : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(produs mixt al vectorilor), în caz contrar

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrice}}\right|=0.

Ecuație plană normală (normalizată).

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

sub forma vectoriala:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

unde - vector unitar, - distanta P. de la origine. Ecuația (2) poate fi obținută din ecuația (1) prin înmulțirea cu factorul de normalizare ${\mathbf {N^{0))}$ $p$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(semnează și sunt opuse). $\mu$ $D$

Definiție prin punct și vector normal

În spațiul tridimensional, una dintre cele mai importante moduri de a defini un plan este de a specifica un punct pe plan și vectorul normal al acestuia.

Să presupunem că este vectorul rază al unui punct definit pe plan și să presupunem că n este un vector diferit de zero perpendicular pe plan (normal). Ideea este că un punct cu raza vector r este pe plan dacă și numai dacă vectorul de la până este perpendicular pe n . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Să revenim la faptul că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este egal cu zero. Rezultă că planul de care avem nevoie poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Aici, punctul înseamnă produs punctual, nu multiplicare.)

Extinderea expresiei obținem:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

care este ecuația familiară a planului.

De exemplu: Având în vedere: un punct pe plan și un vector normal . $P(2,6,-3)$ $N(9,5,2)$

Ecuația plană se scrie după cum urmează:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Distanța de la un punct la un plan

Distanța de la un punct la un plan este cea mai mică dintre distanța dintre acel punct și punctele din plan. Se știe că distanța de la un punct la un plan este egală cu lungimea perpendicularei coborâte din acest punct în plan.

Abaterea unui punct de la planul dat de ecuația normalizată $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, dacă și originea se află pe părți opuse ale planului, în caz contrar . Distanța de la un punct la un plan este

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

Distanța de la punctul , la planul dat de ecuație , se calculează cu formula: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $ax+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Distanța dintre planuri paralele

Distanța dintre planele dată de ecuații și : $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Distanța dintre planele dată de ecuații și : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Concepte înrudite

Unghiul dintre două plane. Dacă ecuațiile P. sunt date sub forma (1), atunci

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Dacă este în formă vectorială, atunci

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Planurile sunt paralele dacă

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

sau (produs încrucișat)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Planurile sunt perpendiculare dacă

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

sau . (produs scalar)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Pachetul plan - toate planurile care trec prin linia de intersecție a două plane. Ecuația unui mănunchi de plane, adică orice plan care trece prin linia de intersecție a două plane, are forma [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

unde și sunt numere care nu sunt egale simultan cu zero. Ecuația acestei drepte în sine poate fi găsită din ecuația fasciculului prin substituirea α=1, β=0 și α=0, β=1.

\alfa

\beta

O grămadă de plane - toate planurile care trec prin punctul de intersecție a trei plane [2] :224 . Ecuația unui grup de plane, adică orice plan care trece prin punctul de intersecție a trei plane, are forma:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

unde , și sunt orice numere care nu sunt egale cu zero în același timp. Acest punct în sine poate fi găsit din ecuația fasciculului prin substituirea α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 și α=0, β=0, γ=1 și rezolvarea sistemului de ecuații rezultat.

\alfa

\beta

\gamma

Variații și generalizări

Avioane în spațiu non-euclidian

Metrica plană nu trebuie să fie euclidiană . În funcție de relațiile de incidență introduse ale punctelor și liniilor, se disting planuri proiective , afine , hiperbolice și eliptice [1] .

Planuri multidimensionale

Fie dat un spațiu n-dimensional afin-dimensional finit , peste câmpul numerelor reale. Are un sistem de coordonate dreptunghiular . Un m-plan este un set de puncte ai căror vectori de rază satisfac următoarea relație — o matrice ale cărei coloane formează subspațiul de ghidare al planului, — un vector de variabile, — un vector de rază a unuia dintre punctele planului. Raportul specificat poate fi transpus dintr-o formă matrice-vector într-una vectorială: - ecuația vectorială a planului m. Vectorii formează un subspațiu de ghidare. Două m-planuri sunt numite paralele dacă spațiile lor de ghidare sunt aceleași și . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alfa$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \in V$
${\vec {a_{i))}$ $\alpha ,\beta$ $\există x\în \alpha :x\notin \beta$

Un plan (n-1) din spațiul n-dimensional se numește hiperplan sau pur și simplu plan . Pentru un hiperplan, există o ecuație generală pentru un plan. Fie vectorul normal al planului, fie vectorul variabilelor, fie vectorul rază a unui punct aparținând planului, atunci: fie ecuația generală a planului. Având o matrice de vectori de direcție, ecuația se poate scrie astfel: , sau: . Unghiul dintre plane este cel mai mic unghi dintre vectorii lor normali. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{{0}}^{1}&a_{{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Un exemplu de un plan în spațiul tridimensional (n=3) este o linie dreaptă . Ecuația sa vectorială are forma: . În cazul n = 2, linia este un hiperplan. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Un hiperplan în spațiul tridimensional corespunde conceptului obișnuit de plan.

Vezi și

Note

↑ 1 2 Enciclopedia de matematică, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Algebră vectorială în exemple și probleme . - M . : Şcoala superioară , 1985. - 232 p.

Literatură

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometrie analitică. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 p.
Avion // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Link -uri

Wikimedia Commons are conținut media legate de Avion

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare Desktop