Submodul

Un submodul este un subgrup al unui modul care este un subgrup al grupului său aditiv și este închis prin înmulțire cu elemente ale inelului principal . În special, idealul stâng (dreapta) al unui inel este un submodul al modulului stâng (dreapta ) . $R$ $R$ $R$

Definiții înrudite

Un submodul care este diferit de întregul modul se numește modul nativ .
Un submodul se numește mare (sau esențial ) dacă are o intersecție diferită de zero cu orice alt submodul diferit de zero.
- De exemplu, numerele întregi formează un submodul mare al grupului de numere raționale.
Fiecare modul este un submodul mare al carcasei sale injective .
Un submodul al unui modul se numește mic (sau coesențial ) dacă pentru orice submodul egalitatea implică . $A$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- De exemplu, fiecare submodul adecvat al modulului de lanț se dovedește a fi mic .

Proprietăți

Setul de submodule ale unui modul dat, ordonate după includere, este o rețea Dedekind completă .
Suma tuturor submodulelor mici este aceeași cu intersecția tuturor submodulelor maxime.
Un ideal stânga aparține radicalului Jacobson dacă și numai dacă este mic pentru orice modul stâng generat finit . $eu$ $IM$ $M$ $M$
Elementele unui submodul mic sunt non-generatoare, adică orice sistem de generatoare ale modulului rămâne astfel după îndepărtarea oricăruia dintre aceste elemente (acest lucru, desigur, nu înseamnă că pot fi îndepărtate dintr-o dată!) .
Radicalul Jacobson al inelului de endomorfism al unui modul coincide cu setul de endomorfisme care au o imagine mică.
Dacă este un homomorfism al unui modul într-un modul , atunci mulțimea se dovedește a fi un submodul al modulului și se numește nucleul homomorfismului . $\phi$ $A$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\subset A$
$A$ $\phi$
- Fiecare submodul servește ca nucleu al unui homomorfism.

Literatură

Kash F. Module și inele, - per. din germană, M. , 1981;
Fața K. Algebră: inele, module și categorii, - per. din engleză, vol. 1-2, Moscova , 1977-79.