Functor reprezentabil

În teoria categoriilor , un functor reprezentabil  este un functor de tip special de la o categorie arbitrară la categoria mulţimilor . Într-un sens, astfel de functori definesc o reprezentare a unei categorii în termeni de mulțimi și funcții.

Definiție

Fie C  o categorie local mică , atunci pentru fiecare dintre obiectele sale A Hom( A ,-) există un functor Hom , care trimite obiectele X la mulțimile Hom( A , X ).

Se spune că un functor F  : C → Mulțimea este reprezentabilă dacă este izomorf în mod natural cu Hom( A ,-) pentru un obiect A din categoria C .

Un functor contravariant G de la C la Set , numit de obicei presheaf , este reprezentabil dacă este izomorf în mod natural cu functorul hom contravariant Hom(-, A ) pentru un obiect A din categoria C .

Elemente universale

Conform lemei lui Yoneda , transformările naturale ale lui Hom( A ,-) în F sunt în corespondență unu-la-unu cu elementele lui F ( A ). Pentru a obține o reprezentare a lui F , trebuie să știm pentru care u ∈ F ( A ) transformarea naturală corespunzătoare este un izomorfism. Aceasta motivează următoarea definiție:

Un element universal al unui functor F  : C → Mulțimea  este o pereche ( A , u ), unde A  este un obiect al lui C și u ∈ F ( A ), astfel încât pentru orice pereche ( X , v ), v ∈ F ( X ) există un morfism unic f  : A → X astfel încât ( Ff ) u = v .

Transformarea naturală indusă de u ∈ F ( A ) este un izomorfism dacă și numai dacă ( A , u ) este un element universal. Prin urmare, reprezentările functorilor sunt adesea denumite membri generici. Din proprietatea universală rezultă că reprezentarea functorului este unică până la un izomorfism unic (totuși, unicitatea rezultă și din completitudinea înglobării Yoneda).

Exemple

• Luați în considerare un functor contravariant P  : Set → Set care trimite o mulțime la booleanul său și o funcție pentru a prelua întreaga preimagine a submulțimii. Pentru a reprezenta un functor, avem nevoie de o pereche ( A , u ) astfel încât, pentru orice mulțime X , mulțimea Hom( X , A ) să fie izomorfă cu P ( X ) prin intermediul funcției Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Luați A = {0,1}, u = {1}, funcția corespunzătoare de la X la A  este funcția caracteristică a mulțimii S .
• Uitarea functorilor în set este foarte adesea reprezentabilă. În special, un functor uitător va fi reprezentabil ( A , u ) dacă A  este un obiect liber peste un singleton u .
  • Functorul uituc Grp → Setul din categoria de grupuri este reprezentabil ( Z , 1).
  • Functorul uituc Ring → Set din categoria inelelor este reprezentabil ( Z [ x ], x ).
  • Functorul uitător Vect → Mulțimea din categoria spațiilor vectoriale reale este reprezentabil ( R , 1).
  • Functorul uitător Top → Set din categoria spațiilor topologice poate fi reprezentat printr-un spațiu topologic cu un singur element.

Conexiune cu săgeți universale și functori adjuncți

Definițiile categoriale ale săgeții universale și ale functorilor adjuncți pot fi exprimate în termeni de functori reprezentabili.

Fie G  : D → C  un functor și X  un obiect al lui C . Atunci ( A ,φ) este o săgeată universală de la X la G dacă și numai dacă ( A ,φ) este o reprezentare a functorului Hom C ( X , G -) de la D la Set . Rezultă că G are un F dual stâng dacă și numai dacă Hom C ( X , G- ) este reprezentabil pentru tot X din C. Afirmațiile duale sunt și ele adevărate.

Literatură

• S. McLane Categorii pentru un matematician de lucru, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .