Categoria spațiilor topologice

Categoria spațiilor topologice este o categorie ale cărei obiecte sunt spații topologice , iar morfismele sunt mapări continue , principalul obiect de studiu al topologiei categoriei . Notația standard este . Este o categorie specifică , astfel încât obiectele sale pot fi înțelese ca mulțimi cu structură suplimentară. $\mathbf {Sus}$

Un functor natural de uitare care asociază un spațiu topologic cu mulțimea lui suport: . Acest functor are atât un adjunct stâng , care furnizează mulțimii cu topologia discretă , cât și un adjunct din dreapta , care furnizează mulțimii cu topologia antidiscretă . Mai mult, deoarece orice funcție între spații discrete sau antidiscrete este continuă, ambii acești functori definesc o încorporare completă a categoriei de mulțimi în . $U\colon \mathbf {Sus} \la \mathbf {Set}$ $D\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Sus}$ $I\colon \mathbf {Set} \la \mathbf {Sus}$ $\mathbf {Sus}$

Este complet și cocomplet , adică toate limitele și colimitele mici există în ea . Functor neglijent: ridică limitele într-un mod unic și, de asemenea, le păstrează. Prin urmare, pentru a obține limite (colimits) în este suficient să furnizați limitele (colimits) în cu topologia necesară : dacă este o diagramă în și este o diagramă limită în , atunci limita corespunzătoare (colimită) în poate fi obținută prin furnizarea topologia inițială ( topologie finită ). $U\colon \mathbf {Sus} \la \mathbf {Set}$ $\mathbf {Sus}$ ${\mathbf {Set}}$ $F$ $\mathbf {Sus}$ $(L,\varphi )$ $UF$ ${\mathbf {Set}}$ $F$ $\mathbf {Sus}$ $(L,\varphi )$

Monomorfismele în sunt mapări injective continue ; epimorfismele sunt mapări surjective continue , iar izomorfismele sunt homeomorfisme . Nu există morfisme zero în , în special această categorie nu este preaditivă . $\mathbf {Sus}$ $\mathbf {Sus}$

Nu este carteziană închisă , deoarece nu toate obiectele sale au exponențiale .

Literatură

Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (germană) . - 1968. - (Springer Lecture Notes in Mathematics, Vol. 78).
Topologie categorială 1971-1981 (H. Herrlich) // Topologia generală și relațiile sale cu analiza modernă și algebra 5 (engleză) . - Heldermann Verlag, 1983. - P. 279-383.
Topologie categorială - originile sale, așa cum sunt exemplificate prin desfășurarea teoriei reflexiilor topologice și coreflectiilor înainte de 1971; Topologie categorială 1971-1981 (H. Herrlich, GE Strecker) // Handbook of the History of General Topology / eds. CEAull, R. Lowen. — Kluwer Acad. Publ., 1997. - T. 1. - S. 255-341.
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst și Strecker, George E. Categorii abstracte și concrete . — John Wiley & Sons. - ISBN 0-471-60922-6 .
McLane S. Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .