Transformarea Hartley

Transformată Hartley (transformată Hartley) - transformată integrală , strâns legată de transformata Fourier , dar spre deosebire de aceasta din urmă, transformă unele funcții reale în alte funcții reale. Transformarea a fost propusă ca alternativă la transformarea Fourier de către R. Hartley în 1942 . Transformarea Hartley este unul dintre multele tipuri binecunoscute de transformate Fourier. Transformarea Hartley poate fi, de asemenea, inversată.

O versiune discretă a transformării Hartley a fost introdusă de Ronald Bracewellîn 1983 .

Definiție

Conversie directă

Transformarea Hartley este calculată prin formula $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

Unde

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Miezul Hartley .

Transformare inversă

Transformarea inversă se obține prin principiul involuției :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Precizări

În loc să utilizați aceleași formule pentru transformările directe și inverse, puteți introduce un factor pentru inversă și puteți scoate același factor din transformarea Hartley directă. Acest mod se numește normalizare asimetrică ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Puteți utiliza coeficientul în loc de , omițând complet coeficientul ; $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Puteți folosi scăderea cosinusului și sinusului în locul sumei lor .

Relația cu transformata Fourier

Transformarea Hartley diferă de transformata Fourier în alegerea nucleului .

Transformarea Fourier folosește nucleul exponențial

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

Unde

i

este unitatea imaginară .

Aceste două transformări sunt strâns legate, iar dacă au aceeași normalizare, atunci

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

Pentru funcții reale, transformarea Hartley se transformă într-o transformată Fourier complexă : $f(t)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

Unde

\Re

și sunt părțile reale și, respectiv, imaginare ale funcției.

\Sunt

Proprietăți

Transformată Hartley - operator liniar unitar simetric real

Există, de asemenea, un analog al teoremei de convoluție : dacă două funcții au transformări Hartley și respectiv , atunci convoluția lor va avea o transformare $x(t)$ $YT)$ $X(t)$ $YT)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega)=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega)\left[Y(\omega) )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2

La fel ca transformata Fourier, transformata Hartley va fi o funcție pară sau impară , în funcție de natura funcției care este transformată.

Cas

Proprietățile nucleului Hartley decurg din proprietățile funcțiilor trigonometrice . pentru că

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

apoi

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

și

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Derivatul nucleului este

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Literatură

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Arhivat 24 mai 2017 la Wayback Machine
Hartley, RVL, O analiză Fourier mai simetrică aplicată problemelor de transmisie Arhivată la 2 iunie 2008 la Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, a 2-a ed. 1978, revizuită în 1986) (tradus și în japoneză și poloneză)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (tradus și în germană și rusă)
Bracewell, RN, Model:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, Template:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Template:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Transformări integrale
Abel transforma Bessel se transformă Transformarea Bushman Transformarea Gegenbauer Transformarea Hilbert Transformarea Kontorovich-Lebedev Transformarea Laplace Transformarea Meyer Transformarea Mehler-Fock Transformarea Mellin Transformarea Nerain Transformarea radonului Stieltjes transforma transformata Fourier Transformarea Hankel Transformarea Hartley