Masa redusa

Masa redusă este o caracteristică condiționată a distribuției maselor într-un sistem în mișcare mecanic sau mixt (de exemplu, electro-mecanic), în funcție de parametrii fizici ai sistemului (mase, momente de inerție , inductanță etc.) și de legea sa de mișcare [1] .

De obicei, masa redusă este determinată din egalitatea , unde este energia cinetică a sistemului și este viteza punctului din sistem la care masa este redusă. Într-o formă mai generală, masa redusă este coeficientul de inerție în expresia energiei cinetice a unui sistem cu constrângeri staționare , a cărui poziție este determinată de coordonatele generalizate : $\mu$ $T=\mu v^{2}\,/2$ $T$ $v$ $\mu _{{ij}}$ $n$ $r_{i)$

2T=\sum _{i,\,j=1}^{n}\mu _{ij}\,{\dot {r_{i)}}{\dot {r_{j))}\ ,,

unde punctul înseamnă diferențiere în funcție de timp și sunt funcții de coordonate generalizate. $\mu _{ij}\$

Problemă cu două corpuri

În problema celor două corpuri , care apare, de exemplu, în mecanica cerească sau în teoria împrăștierii , masa redusă apare ca un fel de masă efectivă atunci când problema celor două corpuri este redusă la două probleme despre un corp. Luați în considerare două corpuri: unul cu masă și celălalt cu masă . În problema echivalentă a unui singur corp, se consideră mișcarea unui corp cu o masă redusă egală cu $m_{1}\$ $m_{2}\$

\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1 }+m_{2}}}\ ,

unde forta care actioneaza asupra acestei mase este data de forta care actioneaza intre aceste doua corpuri. Se poate observa că masa redusă este egală cu jumătate din media armonică a celor două mase.

Masa redusă este întotdeauna mai mică decât fiecare dintre mase sau sau egală cu zero dacă una dintre mase este egală cu zero. Fie masa mult mai mică decât masa ( ), atunci expresia aproximativă pentru masa redusă va fi $m_{1}\$ $m_{2}\$ $m_{2}\$ $m_{1}$ $m_{2}\ll m_{1}$

\mu ={\frac {m_{2}}{1+m_{2}/m_{1}}}\aprox m_{2}(1-{\frac {m_{2}}{m_{ 1))})\aprox m_{\mathrm {2} }\ .

mecanica newtoniana

Folosind a doua lege a lui Newton , se poate constata că efectul corpului 2 asupra corpului 1 este dat de forța

\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.

Corpul 1 influențează corpul 2 prin forță

\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.

În virtutea celei de-a treia legi a lui Newton, aceste două forțe sunt egale și opuse ca direcție:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.

Astfel, avem

m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}

\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.

Atunci accelerația relativă dintre două corpuri va fi dată de

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2))}\right )\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}= {\mathbf {F} _{12} \over \mu }.

Apoi putem concluziona că corpul 1 se mișcă în raport cu poziția corpului 2 (și în câmpul de acțiune al forței corpului 2) ca un corp cu o masă egală cu masa redusă . $\mu$

Mecanica Lagrange

Problema celor două corpuri poate fi descrisă și în abordarea lagrangiană . Funcția Lagrange este diferența dintre energiile cinetice și potențiale. În această sarcină, aceasta

L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r)} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r }} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)

unde este vectorul rază al particulei i -a cu masa . Energia potențială depinde de distanța dintre particule. Să definim vectorul ${\mathbf {r}}_{i}$ $m_{i}$

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2)

iar centrul de masă definește cadrul de referință

m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0

Apoi vectorii de poziție de masă sunt redefiniti ca $m_{i}$

\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} {m_{1}+m_{2))},\,\,\mathbf {r} _ {2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2))}.

Apoi noua funcție Lagrange poate fi rescrisă ca

L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r)} ^{2}-V(r),

de unde se vede că problema a două corpuri s-a redus la problema mișcării unui singur corp.

Aplicație

Masa redusă poate fi legată de expresii algebrice mai generale care definesc relația dintre elementele sistemului și au forma

\ {1 \over x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^{n}{1 \over x_{i}}={1 \over x_{1}}+ {1 \over x_{2}}+\cdots +{1 \over x_{n}}\ ,

unde este caracteristica elementului i al sistemului (de exemplu, rezistența unui rezistor într-un circuit paralel ), este caracteristica echivalentă a întregului sistem de n elemente (de exemplu, impedanța unei secțiuni paralele a circuitul). Expresii de acest fel apar în multe domenii ale fizicii . $x_{i}\$ $x_{eq}\$

Conceptul de masă redusă poate fi găsit în științele ingineriei , de exemplu, la calcularea structurilor pentru încărcarea la șoc [2] .

Note

↑ S. M. Targ . Masă redusă // Enciclopedia fizică : [în 5 tone] / Ch. ed. A. M. Prohorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Streamers. - S. 110. - 704 p. - 40.000 de exemplare. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ A.I. Rusakov Calcul corect al maselor reduse la impact . Vestnik RGUPS, nr. 2, 2003 . Data accesului: 18 ianuarie 2010. Arhivat din original la 19 februarie 2012. (nedefinit)

Link -uri

Masă redusă la HyperPhysics Arhivat 16 decembrie 2006 la Wayback Machine

Vezi și

Problemă cu două corpuri