Transformare proiectivă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

O transformare proiectivă a unui plan proiectiv este o transformare care duce linii în linii.

Definiție

O transformare proiectivă este o mapare unu-la-unu a unui spațiu proiectiv pe sine care păstrează relația de ordine a mulțimii parțial ordonate a tuturor subspațiilor. $\phi$

O transformare proiectivă a unei linii este o transformare bijectivă a unei linii care ia un cvadruplu armonic de puncte într-un cvadruplu armonic de puncte.

O transformare proiectivă a unui plan este o mapare unu-la-unu a planului proiectiv pe sine, astfel încât pentru orice linie directă imaginea este, de asemenea, o linie directă. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\pi$ $l\subset\pi$ $\phi (l)$

Proprietăți

Transformarea proiectivă păstrează relația duală .
O transformare proiectivă este o mapare unu-la-unu a setului de puncte din planul proiectiv și este, de asemenea, o mapare unu-la-unu a setului de linii.
O mapare inversa uneia proiective este o mapare proiectiva. Compoziția mapărilor proiective este o mapare proiectivă. Astfel, setul de mapări proiective formează un grup .
Proiecția centrală este un caz special de transformare proiectivă.
O transformare afină este un caz special al uneia proiective.
Fiecare linie a planului sub o transformare proiectivă a planului este mapată proiectiv pe o linie. Fiecare fascicul de raze al planului este mapat proiectiv pe un fascicul de raze.
Transformarea proiectivă a unei linii drepte se determină prin specificarea a trei perechi de puncte corespunzătoare mapării. Această afirmație este uneori numită teorema fundamentală a geometriei proiective.
O transformare proiectivă a unui plan este definită prin specificarea a patru perechi de puncte corespunzătoare mapării și niciunul dintre cele patru imagini sau preimagini nu se află pe aceeași linie dreaptă. Pentru o mapare neidentică, numărul de puncte fixe este de cel mult trei.
Fiecare transformare proiectivă a unui plan este dată de o transformare liniară reversibilă a spațiului tridimensional corespunzător acestuia. În coordonate omogene, este reprezentată de ecuațiile: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{cases}}$

și .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspectivă

Să fie 2 drepte distincte pe planul proiectiv și un punct O care nu le aparține . O mapare în perspectivă a unei linii pe o linie cu centrul O este o mapare , unde pentru un punct arbitrar punctul este găsit ca intersecția lui și . Această mapare se notează astfel: care scrie „ tradus într-o linie dreaptă printr-o mapare perspectivă centrată pe O ” sau după cum urmează: „punctele sunt traduse printr-o mapare perspectivă centrată pe O în puncte ”. $u_{1},u_{2)$ $tu_{1}$ $u_{2)$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ $u_{2)$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $tu_{1}$ $u_{2)$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

Maparea în perspectivă este bijectivă, păstrează punctul de intersecție al liniilor și păstrează relația duală a cvadruplului de puncte . $u_{1},u_{2)$

Orice mapare proiectivă de la o linie la o linie poate fi reprezentată ca o compoziție de mapări de perspectivă. Se notează maparea proiectivă $tu_{1}$ $u_{2)$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involuție

O transformare proiectivă se numește involuție dacă pentru orice punct P este adevărat că . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Dacă este o involuție, atunci . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Dacă o transformare proiectivă a unei drepte are cel puțin un punct P astfel încât , atunci este o involuție. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Dacă o involuție neidentică a dreptei proiective are puncte fixe, atunci numărul lor este fie doi, fie zero. O involuție cu 2 puncte fixe se numește hiperbolică. Involuția hiperbolică schimbă punctele care sunt conjugate armonic în raport cu punctele fixe. O involuție fără puncte fixe se numește eliptică.

O involuție este definită prin specificarea a două perechi de puncte corespunzătoare.

Trei perechi de laturi opuse ale unui patrulater complet intersectează orice dreaptă (care nu trece printr-un vârf) în trei perechi de puncte ale aceleiași involuții (această afirmație se numește teorema lui Desargues, deși originea ei poate fi atribuită Lemei IV a lui Euclid Porisme în volumul VII al Colecţiei de matematică Pappus din Alexandria ) .

Colineari și corelații

O colineare este o transformare care ia puncte în puncte, linii în linii și păstrează raportul de incidență al punctelor și liniilor, precum și raportul dublu al oricăror patru puncte coliniare . Colineațiile formează un grup. Cerința de a păstra raportul dublu al cvadruplului punctelor coliniare este redundantă, dar este dificil de demonstrat. Coliniațiile sunt considerate împreună cu corelații - transformări ale planului proiectiv care transformă punctele în linii și liniile în puncte și păstrează relația de incidență. Un exemplu de corelație este o corespondență polară, adică o mapare care duce un punct la polara sa în raport cu o secțiune conică și o linie dreaptă la polul său.

Omologie

O omologie este o coliniere neidentică pentru care există o linie fixă punctual p , numită axa de omologie.

Pentru orice omologie există un punct fix P (centrul de omologie) cu proprietatea că orice linie incidentă cu acesta este fixă. În afară de centrul P și punctele axei p , omologia punctelor fixe nu are puncte fixe. Dacă , atunci omologia se numește parabolică, în caz contrar se numește hiperbolică. $P\in p$

Sub omologie plană, punctul și imaginea sa se află pe aceeași linie dreaptă cu centrul omologiei, iar linia și imaginea sa se intersectează pe axa omologiei.

Omologia poate fi dată de un centru, o axă și o pereche de linii corespunzătoare. Omologia poate fi specificată și prin centru, axă etc. o constantă de omologie diferită de . $0,1,\infty$

Vezi și

Literatură

D. A. Mormânt . Omografie // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
P. S. Alexandrov . Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară. — M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Fundamentele geometriei proiective. — M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Plan proiectiv real / ed. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. Ce este matematica?
N.V. Efimov . Geometrie superioară . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Geometrie proiectivă. Manual la cursul „Geometrie” pentru studenți-studenti cu frecvență parțială cursurile II-III ale facultăților de fizică și matematică. - M . : Educație, 1980.