Deltoid dreptunghiular

Un deltoid în unghi drept este un deltoid ( un patrulater ale cărui laturi pot fi grupate în două perechi de laturi adiacente de aceeași lungime) care poate fi înscris într-un cerc [1] . Adică este un deltoid cu un cerc circumscris ( deltoid înscris ). Atunci un deltoid dreptunghiular este un patrulater convex și are două unghiuri drepte opuse [2] .

Cercul înscris

Toți deltoizii în unghi drept sunt patrulatere în cerc (care au un cerc circumscripționat și un cerc în cerc), deoarece toți deltoizii au un cerc în cerc . Una dintre diagonale (care servește ca axă de simetrie ) împarte deltoidul drept în două triunghiuri dreptunghiulare și este, de asemenea, diametrul cercului circumscris.

Într -un patrulater circumscris (adică unul cu un cerc înscris), cele patru segmente de linie dintre centrul cercului înscris și punctele tangente ale patrulaterului despart patrulaterul în patru deltoizi dreptunghiulare.

Caz special

Un caz special de deltoizi dreptunghiulari sunt pătratele , unde diagonalele au aceeași lungime și cercurile înscrise și circumscrise sunt concentrice .

Descriere

Un deltoid este un deltoid drept dacă și numai dacă are un cerc circumscris (prin definiție). Acest lucru este echivalent cu un deltoid care are două unghiuri drepte opuse.

Formule

Deoarece un deltoid drept poate fi împărțit în două triunghiuri dreptunghiulare, următoarele formule sunt ușor derivate din proprietățile binecunoscute ale triunghiurilor dreptunghiulare. În deltoidul în unghi drept ABCD , unde două unghiuri opuse B și D sunt unghiuri drepte, celelalte două unghiuri pot fi calculate din

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b }}

unde a = AB = AD și b = BC = CD . Aria unui deltoid dreptunghiular este

\displaystyle K=ab.

Diagonala AC , care este axa de simetrie, are lungime

p={\sqrt {a^{2}+b^{2)})

și deoarece diagonalele sunt perpendiculare (deci un deltoid drept este un patrulater ortodiagonal cu aria ), cealaltă diagonală BD are lungime $K={\frac {pq}{2)}$

q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).

Raza cercului circumscris este (conform teoremei lui Pitagora )

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

și, deoarece toți deltoizii sunt circumscriși , raza cercului înscris este dată de

r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}

unde s este semiperimetrul.

Aria este dată în termeni de raza R a cercului circumscris și raza r a cercului înscris ca [3] .

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).

Dacă notăm segmentele de pe diagonalele de la punctul de intersecție până la vârfuri în sensul acelor de ceasornic cu , atunci ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4))$

d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}

Aceasta este o consecință directă a teoremei mediei geometrice .

Dualitate

Poligonul dual pentru un deltoid dreptunghiular este un trapez isoscel [1] .

Definiție alternativă

Uneori un deltoid dreptunghiular este definit ca un deltoid cu cel puțin un unghi drept [4] . Dacă există un singur unghi drept, acesta trebuie să fie între două laturi de lungime egală. În acest caz, formulele de mai sus nu funcționează.

Note

↑ 1 2 de Villiers, 2009 , p. 154, 206.
↑ de Villiers, 1994 , p. 11–18.
↑ Josefsson, 2012 , p. 237–24.
↑ 1728 Software Systems, Kite Calculator , accesat la 8 octombrie 2012 . Preluat la 29 martie 2019. Arhivat din original la 6 septembrie 2021. (nedefinit)

Literatură

Michael de Villiers. Câteva aventuri în geometria euclidiană. - Key Curriculum Press, 2009. - ISBN 978-0-557-10295-2 .
Michael de Villiers. Rolul şi funcţia unei clasificări ierarhice a patrulaterelor // Pentru învăţarea matematicii. - 1994. - T. 14 , nr. 1 . — .
Martin Josephson. Aria maximă a unui patrulater bicentric // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .