Patrulaterul înscris-circumscris

Un patrulater înscris-circumscris este un patrulater convex care are atât un cerc înscris, cât și un cerc circumscris . Din definiție rezultă că patrulaterele înscrise-circumscrise au toate proprietățile atât patrulaterelor circumscrise, cât și patrulaterelor înscrise . Alte nume pentru aceste patrulatere sunt patrulater coard-tangent [1] și patrulater bicentric . Se mai numesc patrulatere cu două cercuri [2] .

Dacă două cercuri, unul în interiorul celuilalt, sunt cercul înscris și cercul circumscris unui patrulater, atunci orice punct de pe cerc circumscris este vârful unui patrulater înscris (posibil diferit) având aceleași cercuri înscrise și circumscrise [3] . Aceasta este o consecință a porismului lui Poncelet , care a fost dovedit de matematicianul francez Jean-Victor Poncelet (1788–1867).

Ocazii speciale

Exemple de patrulatere înscrise-circumscrise sunt pătratele , deltoidele dreptunghiulare și trapezele circumscrise isoscele .

Descriere

Un patrulater convex ABCD cu laturile a , b , c , d este bicentric dacă și numai dacă laturile opuse satisfac teorema Pitot pentru patrulatere circumscrise și proprietatea patrulaterelor înscrise că unghiurile opuse însumează 180 de grade, adică.

{\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases))

Alte trei descrieri se referă la punctele în care cercul înscris în patrulaterul circumscris atinge laturile. Dacă un cerc este tangent la laturile AB , BC , CD și DA în punctele W , X , Y și respectiv Z , atunci patrulaterul circumscris ABCD este de asemenea circumscris dacă și numai dacă este îndeplinită oricare dintre următoarele trei condiții [4] :

Segmentul WY este perpendicular pe XZ
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Prima dintre aceste trei condiții înseamnă că patrulaterul de contact WXYZ este un patrulater ortodiagonal .

Dacă E , F , G , H sunt punctele medii ale lui WX , XY , YZ , respectiv ZW , atunci un patrulater circumscris ABCD este de asemenea circumscris dacă și numai dacă patrulaterul EFGH este un dreptunghi [4] .

Conform unei alte descrieri, dacă I este centrul cercului înscris al unui patrulater înscris ale cărui prelungiri laturi opuse se intersectează în J și K , atunci patrulaterul este circumscris dacă și numai dacă JIK este un unghi drept [4] .

O altă condiție necesară și suficientă este ca un patrulater circumscris ABCD să fie circumscris dacă și numai dacă linia lui Gauss este perpendiculară pe linia Gauss a patrulaterului său de contact WXYZ . (Linia Gauss a unui patrulater este determinată de punctele medii ale diagonalelor sale.) [4]

Clădire

Există o metodă simplă de construire a unui patrulater bicentric:

Construcția începe cu un cerc înscris C r cu centrul I și raza r , apoi trageți două coarde perpendiculare între ele WY și XZ în cercul înscris C r . La capetele coardelor , trasăm tangente a , b , c și d la cercul înscris. Se intersectează în punctele A, B, C și D , care sunt vârfurile patrulaterului înscris-circumscris [5] . Pentru a desena cercul circumscris, trageți două perpendiculare mediale p 1 și p 2 pe laturile patrulaterului înscris-circumscris a și , respectiv, b . Se intersectează în centrul O al cercului circumscris C R la o distanță x de centrul I al cercului înscris C r .

Valabilitatea acestei constructii rezulta din faptul ca in patrulaterul circumscris ABCD patrulaterul de contact WXYZ are diagonale perpendiculare daca si numai daca patrulaterul circumscris este si el inscris .

Zona

Formule în termeni de patru cantități

Aria K a unui patrulater înscris-circumscris poate fi exprimată în termenii celor patru dimensiuni ale patrulaterului în mai multe moduri. Dacă a , b , c și d sunt laturi, atunci aria este dată de [3] [6] [7] [8] [9]

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

Acesta este un caz special al formulei lui Brahmagupta . Formula poate fi, de asemenea, obținută direct din formula trigonometrică pentru aria patrulaterului circumscris . Rețineți că inversul nu este valabil — unele patrulatere care nu sunt bicentrice au și aria [10] . Un exemplu de astfel de patrulater este un dreptunghi (cu laturi diferite, nu un pătrat). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Aria poate fi exprimată în termeni de segmente de la vârf până la punctul de contact (pentru concizie, vom numi aceste lungimi lungimi tangente) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

Formula pentru aria patrulaterului înscris-circumscris ABCD cu centrul cercului înscris I [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Dacă un patrulater înscris-circumscris are coarde tangente k , l și diagonale p , q , atunci are aria [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2)}}.

Dacă k , l sunt coarde tangente și m , n sunt bimediane patrulatere , atunci aria poate fi calculată folosind formula [7] .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

Formula nu poate fi folosită dacă patrulaterul este un deltoid drept , deoarece în acest caz numitorul este zero.

Dacă M și N sunt punctele medii ale diagonalelor, iar E și F sunt punctele de intersecție ale prelungirii laturilor, atunci aria patrulaterului înscris este dată de

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

unde I este centrul cercului înscris [7] .

Formule în termeni de trei cantități

Aria unui patrulater înscris-circumscris poate fi exprimată în termeni de două laturi opuse și unghiul θ dintre diagonale conform formulei [7]

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

În ceea ce privește două unghiuri adiacente și raza r a cercului înscris, aria este dată de formula [7]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

Aria este dată în termeni de raza R a cercului circumscris și raza r a cercului înscris ca

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

unde θ este oricare dintre unghiurile dintre diagonalele [13] .

Dacă M și N sunt punctele medii ale diagonalelor, iar E și F sunt punctele de intersecție ale prelungirilor laturilor opuse, aria poate fi exprimată prin formula

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

unde Q este baza perpendicularei pe dreapta EF din centrul cercului înscris [7] .

Inegalități

Dacă r și R sunt raza cercului înscris și, respectiv, raza cercului circumscris, atunci aria K satisface dubla inegalitate [14]

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Obținem egalitate numai dacă patrulaterul este un pătrat .

O altă inegalitate pentru zonă ar fi [15] :p.39,#1203

K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)}}

unde r și R sunt raza cercului înscris și, respectiv, raza cercului circumscris.

O inegalitate similară care oferă o limită superioară mai bună a zonei decât cea anterioară [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

iar egalitatea se realizează dacă și numai dacă patrulaterul este un deltoid drept .

De asemenea, cu laturile a, b, c, d și semiperimetrul s :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :p.39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :p.39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :p.39,#1203

Formule de unghi

Dacă a , b , c și d sunt lungimile laturilor AB , BC , CD și respectiv DA din patrulaterul înscris-circumscris ABCD , atunci unghiurile sale de vârf pot fi calculate folosind tangenta [7] :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Folosind aceeași notație, sunt îndeplinite următoarele formule pentru sinusuri și cosinusuri [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

Unghiul θ dintre diagonale poate fi calculat din formula [8] .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

Raza cercului înscris și raza cercului circumscris

Raza cercului înscris r al patrulaterului înscris-circumscris este determinată de laturile a , b , c , d după formula [3]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

Raza cercului circumscris R este un caz special al formulei Paramesvara [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

Raza cercului înscris poate fi exprimată și în termeni de lungimi tangente succesive e , f , g , h după formula [17] .

\displaystyle r={\sqrt {ex.}}={\sqrt {fh}}.

Aceste două formule sunt, de fapt, condiții necesare și suficiente pentru ca un patrulater circumscris cu raza cercului r să fie înscris .

Cele patru laturi a , b , c , d ale patrulaterului înscris-circumscris sunt soluții ale ecuației gradului al patrulea

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

unde s este semiperimetrul și r și R sunt raza cercului înscris și respectiv raza cercului circumscris [18] .

Dacă există un patrulater înscris-circumscris cu raza cercului înscrisă r , ale cărui lungimi tangente sunt egale cu e , f , g , h , atunci există un patrulater înscris-circumscris cu raza cercului înscrisă r v , ale cărui lungimi tangente sunt , unde v poate fi orice număr real [ 19] . $e^{v},f^{v},g^{v},h^{v)$

Un patrulater înscris-circumscris are o rază a cercului mai mare decât orice alt patrulater circumscris având aceleași lungimi de laturi în aceeași succesiune [20] .

Inegalități

Raza cercului circumscris R și raza cercului înscris r satisfac inegalitatea

R\geqslant {\sqrt {2}}r

ceea ce a fost dovedit de L. Fejes Toth în 1948 [21] . O inegalitate devine egalitate numai dacă cele două cercuri sunt concentrice (centrele sunt aceleași). În acest caz, patrulaterul este un pătrat . Inegalitatea poate fi demonstrată în mai multe moduri diferite, una dintre modalități este utilizarea inegalității duble pentru zona de mai sus.

O generalizare a inegalității anterioare este [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

unde inegalitatea se transformă în egalitate dacă și numai dacă patrulaterul este pătrat [23] .

Semiperimetrul s al unui patrulater înscris-circumscris satisface [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2})}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

unde r și R sunt raza cercului înscris și, respectiv, raza cercului circumscris.

Mai mult, [15] :p.39,#1203

2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2)

și

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :p.62,#1599

Distanța dintre centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris

Teorema Fuss

Teorema lui Fuss oferă o relație între raza cercului r , raza cercului circumscris R și distanța x dintre centrul cercului I și centrul cercului circumscris O , pentru orice patrulater bicentric. Legătura este dată de formula [1] [9] [25] .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

Sau, echivalent,

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

Formula a fost derivată de Nikolai Ivanovich Fuss (1755–1826) în 1792. Rezolvând pentru x , obținem

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2)))}}.

Teorema Fuss pentru patrulatere înscrise-circumscrise, care este analogă cu teorema lui Euler pentru triunghiuri , afirmă că dacă un patrulater este bicentric, atunci cele două cercuri asociate ale sale sunt legate prin formula de mai sus. De fapt, este valabil și reversul — dacă sunt date două cercuri (unul în interiorul celuilalt) cu raze R și r și distanța x dintre centrele lor satisface condiția teoremei lui Fuss, există un patrulater convex înscris într-unul dintre cercuri. , iar celălalt cerc va fi înscris în patrulater [26 ] (și apoi, după teorema Poncelet , există infinit de astfel de patrulatere).

Dacă folosim faptul că în expresia teoremei lui Fuss se obține într-un mod diferit inegalitatea deja menționată.Generalizarea inegalității este [27] $x^{2}\geqslant 0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identitate Karlitz

O altă formulă pentru distanța x dintre centrele cercului înscris și ale cercului circumscris se datorează matematicianului american Leonard Karlitz (1907–1999). Formula prevede că [28] .

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

unde r și R sunt raza cercului înscris și , respectiv, raza cercului circumscris și

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

unde a , b , c , d sunt laturile patrulaterului înscris-circumscris.

Inegalități pentru lungimi și laturi tangente

Pentru lungimile tangente e , f , g , h sunt valabile următoarele inegalități [29] :

4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2)))

și

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

unde r este raza cercului înscris, R este raza cercului circumscris și x este distanța dintre centrele acestor cercuri. Laturile a , b , c , d satisfac inegalitățile [27]

8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2)))

și

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

Alte proprietăți ale centrului unui cerc înscris

Centrul cercului circumscris , centrul cercului înscris și punctul de intersecție al diagonalelor din patrulaterul înscris-circumscris sunt coliniare . [treizeci]

Există următoarea egalitate în ceea ce privește cele patru distanțe dintre centrul cercului I și vârfurile patrulaterului bicentric ABCD : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

unde r este raza cercului înscris.

Dacă punctul P este intersecția diagonalelor din patrulaterul înscris ABCD cu centrul cercului înscris I , atunci [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Există o inegalitate pentru raza r a cercului înscris și raza cercului circumscris R în patrulaterul înscris-circumscris ABCD [33]

4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2}

unde I este centrul cercului înscris.

Proprietățile diagonalelor

Lungimile diagonalelor dintr-un patrulater înscris-circumscris pot fi exprimate în termeni de laturi sau lungimi tangente . Aceste formule sunt valabile pentru patrulaterele înscrise și , respectiv, pentru patrulaterele circumscrise .

Într-un patrulater înscris-circumscris cu diagonalele p și q , identitatea [34] este adevărată :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

unde r și R sunt raza cercului înscris și , respectiv, raza cercului circumscris . Această identitate poate fi rescrisă ca [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

sau, rezolvând-o ca o ecuație pătratică în raport cu produsul diagonalelor, obținem

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

Există o inegalitate pentru produsul diagonalelor p , q într-un patrulater înscris-circumscris [14]

\displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2)

unde a , b , c , d sunt laturi. Inegalitatea a fost dovedită de Murray S. Klumkin în 1967.

Vezi și

poligon înscris-circumscris
Patrulaterul necircumscris

Note

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , p. 188–193.
↑ 12 Yun , 2008 , p. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Bicentric Quadrilateral at MathWorld , [1] Arhivat 23 ianuarie 2019 la Wayback Machine , Accesat pe 2011-08-13.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , p. 165–173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , p. 125–126.
↑ Josefsson, 2010 , p. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , p. 155–164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 28, 30.
↑ 12 Yiu , 1998 , p. 158-164.
↑ Domnul, 2012 , p. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , p. 128.
↑ Josefsson, 2010a , p. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , p. 237–241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , p. 64–66.
↑ 1 2 3 4 5 6 Inegalități propuse în Crux Mathematicorum , 2007. [2] Arhivat la 27 aprilie 2021 la Wayback Machine
↑ Josefsson, 2012 , p. 79–82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , p. 41.
↑ Pop, 2009 , p. 754.
↑ Radic, 2005 , p. 9-10.
↑ Hess, 2014 , p. 392–393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , p. 141.
↑ Josefsson, 2012 , p. 81.
↑ Radic, 2005 , p. 13.
↑ Salazar, 2006 , p. 306–307.
↑ Byerly, 1909 , p. 123–128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , p. 5.
↑ Călin, 2010 , p. 153–158.
↑ Radic, 2005 , p. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Colinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Arhivat la 26 aprilie 2004 la Wayback Machine , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Teorema Fuss pentru patrulaterul bicentric , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) nr 4, p. 242.
↑ Post la Art of Problem Solving , 2009
↑ Yiu, 1998 , p. 158-164.

Literatură

Heinrich Dorrie. 100 mari probleme de matematică elementară: istoria și soluțiile lor. - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
Eric W. Weisstein. Poncelet Transverse // MathWorld - O resursă web Wolfram,.
Martin Josephson. Caracterizările patrulaterelor bicentrice // Forum Geometricorum. - 2010. - or. 10 . — S. 165–173 .
Martin Josephson. Calcule privind lungimile tangentelor și coardele de tangenție ale unui patrulater tangențial // Forum Geometricorum. — 2010a. - T. 10 . — S. 119–130 .
Martin Josephson. Zona unui patrulater bicentric // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 155–164 .
Martin Josephson. O nouă dovadă a inegalității lui Yun pentru patrulaterele bicentrice // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — p. 79–82 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Icoane ale matematicii. O explorare a douăzeci de imagini cheie. - Mathematical Association of America, 2011. - S. 125-126. - ISBN 978-0-88385-352-8 .
Nick Lord. Cadrilatere cu formula ariei // Gazeta Matematică. - 2012. - iulie ( v. 96 ). $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$
Martin Josephson. Aria maximă a unui patrulater bicentric // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .
Claudi Alsina, Roger Nelsen. Când mai puțin este mai mult: vizualizarea inegalităților de bază . - Mathematical Association of America, 2009. - P. 64-66 . — ISBN 978-0-88385-342-9 .
Durell CV, Robson A. Advanced Trigonometrie. — Dover, 2003.
Radic M., Kaliman Z., Kadum V. O condiție ca un patrulater tangențial să fie și unul cordal. - Comunicări matematice, 2007. - V. 12. - S. 33–52.
Ovidiu T. Pop. Identități și inegalități într-un patrulater // Octogon Mathematical Magazine. - 2009. - octombrie ( vol. 17 , nr. 2 ). - S. 754-763 .
Mirko Radic. Anumite inegalități referitoare la patrulatere bicentrice, hexagoane și octagoane // Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. - 2005. - T. 6 , nr. 1 .
Zhang Yun. Inegalitatea lui Euler revizuită // Spectrul matematic. - 2008. - Mai ( vol. 40 , nr. 3 ). - S. 119-121 .
Mark Shattuck. O inegalitate geometrică pentru patrulatere ciclice // Forum Geometricorum. - 2018. - T. 18 . - S. 141-154 .
Paul Yiu. Geometrie euclidiană . - 1998. - S. 158-164.
Juan Carlos Salazar. Teorema lui Fuss // Gazeta matematică. - 2006. - iulie ( vol. 90 ). — S. 306–307 .
Byerly W.E. Cadrilaterul în și circumscris // Analele matematicii. - 1909. - T. 10 . — S. 123–128 . - doi : 10.2307/1967103 .
Ovidiu Calin. Geometrie euclidiană și non-euclidiană o abordare metrică . - Ed. a II-a .. - Wiley Custom Publishing, 2010. - S. 153-158.
Albrecht Hess. Pe un cerc care conține centrele patrulaterelor tangențiale // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14 . — S. 389–396 .