Funcția pseudoconvexă

O funcție pseudoconvexă este o funcție care se comportă ca o funcție convexă în ceea ce privește găsirea minimului său local , dar nu este neapărat convexă. În mod informal, o funcție diferențiabilă este pseudoconvexă dacă crește în orice direcție în care are o derivată direcțională pozitivă .

Definiție formală

O funcție cu valoare reală ƒ definită pe o mulțime deschisă convexă X (nevidă) într-un spațiu euclidian finit se numește pseudoconvexă dacă pentru tot x , y ∈ X astfel încât , avem [1] . Iată gradientul ƒ definit de formulă $\mathbb {R} ^{n}$ $\nabla f(x)\cdot (yx)\geqslant 0$ $f(y)\geqslant f(x)$ $\nabla f$

\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1)}},\dots, {\frac {\partial f}{\partial x_{n)}\dreapta ).

Proprietăți

Orice funcție convexă este pseudoconvexă, dar inversul nu este adevărat. De exemplu, o funcție este pseudo-convexă, dar nu convexă. Orice funcție pseudo-convexă este cvasi -convexă , dar inversul nu este adevărat deoarece funcția este cvasi -convexă , dar nu pseudo-convexă. Pseudo-convexitatea este de interes în primul rând deoarece un punct x * este un minim local al unei funcții pseudo-convexe ƒ dacă și numai dacă este un punct staționar al funcției ƒ , ceea ce se întâmplă atunci când gradientul funcției ƒ dispare pe x * : $f(x)=x+x^{3)$ $f(x)=x^{3}$

\nabla f(x^{*})=0.

[1] .

Generalizări la funcții nediferențiabile

Conceptul de pseudoconvexitate poate fi generalizat la funcții nediferențiabile după cum urmează [2] . Având în vedere o funcție , putem defini derivata Dini superioară ca $f:X\to \mathbb {R}$

f^{+}(x,u)=\limsup _{h\la 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}

unde u este orice vector unitar . Se spune că o funcție este pseudoconvexă dacă crește în orice direcție în care derivata Dini superioară este pozitivă. Mai precis, poate fi descris în termeni de subdiferențial după cum urmează: $\partial f$

Pentru toți , dacă există , așa ceva pentru toți z pe segmentul care leagă x și y . $x,y\în X$ $x^{*}\in \partial f(x)$ $\langle x^{*},yx\rangle \geqslant 0\,,$ $f(x)\leqslant f(z)$

Concepte înrudite

O funcție pseudoconcavă este o funcție al cărei negativ este pseudoconvex. O funcție pseudoliniară este o funcție care este atât pseudoconvexă, cât și pseudoconcavă [3] . De exemplu, problemele de programare liniară-fracțională au funcții obiectiv pseudoliniare și constrângeri de inegalități liniare . Aceste proprietăți permit rezolvarea problemelor de programare fracțională printr-o variantă a metodei simplex ( George B. Dantzig ) [4] [5] [6] .

Vezi și

Pseudoconvexitate

Note

↑ 12 Mangasarian , 1965 .
↑ Floudas, Pardalos, 2001 .
↑ Rapcsak, 1991 .
↑ Craven, 1988 , p. 145.
↑ Kruk, Wolkowicz, 1999 , p. 795–805.
↑ Mathis, Mathis, 1995 , p. 230–234.

Literatură

Craven BD Programare fracționată. - Berlin: Heldermann Verlag, 1988. - V. 4. - P. 145. - (Seria Sigma în matematică aplicată). — ISBN 3-88538-404-3 .
Serge Kruk, Henry Wolkowicz. Programare pseudoliniară // Revizuirea SIAM . - 1999. - T. 41 . — S. 795–805 . - doi : 10.1137/S0036144598335259 . — .
Frank H. Mathis, Lenora Jane Mathis. Un algoritm de programare liniară pentru managementul spitalelor // Revizuirea SIAM . - 1995. - T. 37 , nr 2 . — S. 230–234 . - doi : 10.1137/1037046 . — .
Christodoulos A. Floudas, Panos M. Pardalos. Hărți multivalorice monotone generalizate // Encyclopedia of Optimization. - Springer, 2001. - P. 227. - ISBN 978-0-7923-6932-5 .
Rapcsak T. Despre funcţiile pseudoliniare // European Journal of Operational Research. - 1991. - T. 50 , nr. 3 . — S. 353–360 . — ISSN 0377-2217 . - doi : 10.1016/0377-2217(91)90267-Y .
Funcții Pseudo-Convexe Mangasarian OL // Jurnalul Societății pentru Matematică Industrială și Aplicată Seria A Control. - 1965. - ianuarie ( vol. 3 , numărul 2 ). — S. 281–290 . — ISSN 0363-0129 . - doi : 10.1137/0303020 .