Retragerea Sharafutdinov

Retracția Sharafutdinov este o construcție care permite construirea unei retrageri a unei varietăți Riemanniene în raport cu o funcție convexă pe aceasta.

Folosit pentru prima dată în 1979 de Sharafutdinov [1] pentru a demonstra că oricare două suflete dintr-o varietate cu curbură secțională nenegativă sunt izometrice.

Constructii

Fie o varietate riemanniană conexă , fie o funcție convexă și . Se notează prin mulțime . Retracția Sharafutdinov este o familie de mapări care este identică cu astfel încât atunci se află pe curba gradientului din funcție și în același timp . $M$ $f:M\la \mathbb{R}$ $s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\)$ $t\leq s$ $M_t$ $\{\,x\in M\mid f(x)\leq t\)$ $\Phi _{t}:M\la M_{t)$ $M_t$ $f(x)<t$ $\Phi _{t}(x)$ $X$ $f$ $f(\Phi _{t}(x))=t$

Proprietăți

Afișajele sunt scurte . $\Phi _{t}:M\la M_{t)$
Dacă atunci . $t\geq \tau$ $\Phi _{t}\circ \Phi _{\tau}=\Phi _{t)$

Note

↑ V. A. Sharafutdinov. Pe mulțimi convexe dintr-o varietate de curbură nenegativă // Matem. note. - 1979. - T. 26 , nr 1 . - S. 129-136 .