Spațiul simplectic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un spațiu simplectic  este un spațiu vectorial S cu o formă simplectică definită pe el , adică o formă 2 nedegenerată biliniară simetrică :

Forma simplectică este de obicei indicată . Spre deosebire de forma de produs punctual , pentru care

,

pentru o formă simplică, întotdeauna

Definiții înrudite

Rețineți că orice vector este oblic-ortogonal față de el însuși.

Structura canonică

Structura simplectică poate fi introdusă pe orice spațiu vectorial de dimensiune uniformă. Se poate arăta că formele 2 simetrice nedegenerate nu există pe un spațiu cu dimensiuni impare. Toate spațiile simplectice de aceeași dimensiune sunt izomorfe simplectice . Aceste fapte rezultă din teorema Darboux pentru spațiile simplectice. Ideea dovezii este următoarea. Luați în considerare un vector . În virtutea non-degenerării , există un vector astfel încât

Se consideră complementul oblic-ortogonal la intervalul liniar V al vectorilor și . Se poate demonstra că acesta va fi un subspațiu (2 n -2)-dimensional al lui S care nu se intersectează cu c V , iar restricția asupra acestuia este nedegenerată. Prin urmare, procesul poate fi continuat prin inducție. Pentru un spațiu de dimensiuni impare, procesul se termină pe un subspațiu unidimensional, pe care este evident degenerat, deci presupunerea existenței unei structuri simplectice a fost incorectă. Pentru un spațiu uniform, obținem o bază

,

astfel încât

unde  este simbolul Kronecker . Se numește baza canonică sau baza Darboux .

În baza canonică, matricea formei simplectice ia forma

unde  este matricea de identitate de ordinul n . este o matrice simplectică.

Structura subspațiilor

Luați în considerare un subspațiu și complementul său oblic-ortogonal . Din cauza non-degenerării :

In afara de asta,

În general, aceste subspații se intersectează. În funcție de poziția lor reciprocă, se disting 4 tipuri de subspații:

.

Mulțimea tuturor subspațiilor lagrangiene ale unui spațiu de dimensiunea 2n formează o varietate numită Grassmanianul Lagrangian . Este difeomorfă cu varietatea clasei a grupului unitar în raport cu subgrupul ortogonal , în timp ce

Exemple

unde  este forma hermitiana . Această formă definește o structură simplectică asupra reificării spațiului . și se extinde la toți ceilalți vectori prin liniaritate.

Vezi și

Literatură