Volum simplu

Volumul simplial este un invariant topologic definit pentru varietati închise . Prima dată luată în considerare de Gromov . Volumul simplist al unei varietăți este de obicei notat cu . $M$ $\|M\|$

Definiție

Să fie o varietate închisă, atunci $M$

\|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|

unde sunt coeficienți raționali în reprezentarea clasei sale fundamentale în termenii sumei simplexelor singulare. $r_{i}$ $[M]$

[M]=\sum _{i}r_{i}\Delta _{i}.

Proprietăți

Teorema lui Gromov: Volumul simplic al unei varietăți cu curbură negativă constantă este egal cu raportul dintre volumul său și volumul unui simplex infinit regulat din spațiul Lobaciovsky cu aceeași curbură.
- Mai mult, volumul simplist al unei varietăți asferice (și chiar esențiale din punct de vedere rațional ) cu un grup fundamental hiperbolic este pozitiv. [unu]

Pentru orice colectoare și aceeași dimensiune $M$ $N$ $\|M\#N\|=\|M\|+\|N\|$ ,

unde denotă suma conexă .

\#

Există numere pozitive și astfel încât, dacă suma dimensiunilor este , atunci $a(m)$ $b(m)$ $\dim M+\dim N\leqslant m$ $a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\ |$ ,

unde denota produsul direct .

\times

Pentru orice afișaj $f\colon M\la N$ $\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,$

unde indică gradul de afișare . În special:

\deg f

f

Dacă varietatea admite o mapare de grade , atunci . $M$ $M\la M$ $>1$ $\|M\|=0$
Pentru orice volum simplist al sferei -dimensionale este . $n\geqslant 1$ $n$ $0$

Teorema Besson-Courtois-Halo. [2] Următoarea inegalitate $n!\cdot \mathop {\rm {vol)} M>\|M\|$

este valabil pentru un spațiu riemannian închis arbitrar cu curbura Ricci nu mai mică de .

n

M

-{\tfrac {1}{n-1)}

Note

↑ Corolarul 5.3, Löh, Clara. Volum simplu (engleză) // Buletinul Atlasului Manifold. - 2011. Arhivat la 25 februarie 2021.
↑ Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Matematică.. - 1991. - V. 103 , nr 2 . - S. 417-445 .

Literatură

Prasolov , Viktor Vasilievici Elemente de teoria omologiei . - MTSNMO, 2006. - 448 p. — (Tendințe clasice în matematică).