Varietatea riemanniană

O varietate riemanniană , sau spațiu riemannian ( M , g ), este o varietate ( reală ) netedă M în care fiecare spațiu tangent este înzestrat cu un produs interior g , un tensor metric care se modifică fără probleme de la un punct la altul. Cu alte cuvinte, o varietate Riemanniană este o varietate diferențiabilă în care spațiul tangent din fiecare punct este un spațiu euclidian cu dimensiuni finite .

Acest lucru permite definirea diferitelor concepte geometrice pe varietățile Riemanniene, cum ar fi unghiurile , lungimile curbei , ariile (sau volumele ), curbura , gradientul funcției și divergențele câmpurilor vectoriale .

Metrica riemanniană g este un tensor simetric pozitiv-definit - tensorul metric ; mai precis, este un câmp tensor definit pozitiv simetric covariant neted de valență (0,2).

Nu confundați varietățile Riemann cu suprafețele Riemann - varietăți care arată local ca lipirea planurilor complexe .

Termenul este numit după matematicianul german Bernhard Riemann .

Prezentare generală

Mănunchiul tangent al unei varietăți netede M atribuie fiecărui punct din M un spațiu vectorial numit spațiu tangent , iar pe acest spațiu tangent se poate introduce un produs interior. Dacă un astfel de set de produse scalare introduse pe mănunchiul tangent al unei varietăți se schimbă fără probleme de la un punct la altul, atunci cu ajutorul unor astfel de produse se poate introduce metricitatea pe întreaga varietate. De exemplu, o curbă netedă α( t ): [0, 1] → M are un vector tangent α′( t 0 ) în spațiul tangent T M ( t 0 ) în orice punct t 0 ∈ (0, 1), iar fiecare astfel de vector are lungimea ‖α′( t 0 )‖, unde ‖·‖ denotă norma indusă de produsul interior pe T M ( t 0 ). Integrala pe aceste lungimi dă lungimea întregii curbe α:

L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.

Netezimea lui α( t ) pentru t în [0, 1] garantează că integrala L (α) există și lungimea curbei este definită.

În multe cazuri, pentru a trece de la un concept liniar-algebric la unul geometric diferențial, netezimea este foarte importantă.

Fiecare subvarietă netedă a lui R n are o metrică indusă g : produsul interior pe fiecare spațiu tangent este doar produsul interior pe R n . Reversul este de asemenea valabil: teorema de încorporare regulată Nash afirmă că orice varietate Riemanniană suficient de netedă poate fi realizată ca o subvarietă cu o metrică indusă în R n de dimensiune suficient de mare n .

Măsurarea lungimii și unghiurilor folosind metrica

Pe o varietate Riemanniană, lungimea unui segment de curbă definit parametric (ca funcție vectorială a parametrului , variind de la la ) este: $x(t)$ $t$ $A$ $b$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt))}\,dt =\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.

Unghiul dintre doi vectori și (în spațiul curbat vectori există în spațiul tangent într-un punct de pe varietate), este dat de: $\theta \$ $U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\$ $V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\$

\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right |\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.

Generalizări

Literatură

B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko . geometria modernă. - Orice ediție.
LA FEL DE. Mișcenko, A.T. Fomenko . Curs de geometrie diferenţială şi topologie. - Orice ediție.
V. A. Sharafutdinov. Prelegeri. Capitolul 5: Varietăți riemanniene