Spațiu contractat

Un spațiu contractibil este un spațiu topologic care este echivalent homotopic cu un punct. Această condiție este echivalentă cu a spune că harta de identitate pe este omotopică cu harta constantă. $X$

Un spațiu contractabil local este un spațiu topologic, fiecare punct al căruia are o vecinătate contractibilă .

Proprietăți

Un spațiu este contractibil dacă și numai dacă există o astfel de retragere de deformare a spațiului . $X$ $x_{0}\în X$ $\{x_{0}\}$ $X$

Spațiile contractibile sunt întotdeauna pur și simplu conectate ; afirmația inversă nu este valabilă în cazul general, contractibilitatea este o constrângere mai puternică decât simpla conexiune.

Fiecare hartă continuă a spațiilor contractibile este o echivalență de homotopie. Oricare două hărți continue ale unui spațiu arbitrar într-un spațiu contractibil sunt homotopice; în plus, dacă oricare două hărți continue to sunt homotopice, atunci este un spațiu contractibil. $X$ $X$

Un con pentru un spațiu dat este un spațiu contractibil, astfel încât orice spațiu poate fi încorporat într-un spațiu contractabil, ceea ce, la rândul său, indică faptul că nu orice subspațiu al unui spațiu contractabil este contractibil. De asemenea, este contractibil dacă și numai dacă există o retragere . $\mathrm{C}X$ $X$ $X$ $X$ ${\mathrm {C}}X\la X$

Exemple și contraexemple

Spațiu real dimensional contractibil , orice submulțime convexă a spațiului euclidian, în special bila dimensională . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

O sferă într-un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite este contractabilă, dar sferele euclidiene cu dimensiuni sunt necontractibile. Orice mapare continuă a unei sfere -dimensionale într-un spațiu contractabil poate fi extinsă continuu la o bilă -dimensională. $n$ $n$ $n+1$

Alte spații contractabile notabile sunt varietatea Whitehead (o varietate tridimensională , nu homeomorfă ), varietatea Mazur ( o varietate netedă cu o limită, nu difeomorfă cu o bilă), casa Bing și șapcă de bufon . $\mathbb {R} ^{3}$

Toate varietățile și complexele CW sunt contractibile local, dar nu sunt contractabile în general.

Literatură

E. Spanier. Topologie algebrică. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. — 680 s.