Corpul Kepler-Poinsot

Corpul Kepler-Poinsot  este un poliedru stelat regulat , care nu este o combinație de solide platonice și stelate.

În 1811, matematicianul francez Augustin Cauchy a stabilit că există doar 4 solide stelare regulate care nu sunt compuși ai solidelor platonice și stelate [1] . Acestea includ micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru stelat descoperit de Johannes Kepler în 1619 , precum și marele dodecaedru și marele icosaedru descoperit în 1809 de Louis Poinsot [2] . Poliedrele stelate regulate rămase sunt fie compuși ai solidelor platonice, fie compuși ai solidelor Kepler-Poinsot [3] .

Istorie

Unele dintre poliedrele Kepler-Poinsot erau cunoscute într-o formă sau alta chiar înainte de Kepler [4] . Astfel, imaginea unui mic dodecaedru stelat este prezentă în mozaicul de marmură care împodobește podeaua Catedralei Sf. Marcu din Veneția. Acest mozaic datează din secolul al XV-lea și este uneori atribuit lui Paolo Uccello . În secolul al XVI-lea, bijutierul german Wenzel Jamnitzer în lucrarea sa Perspectiva corporum regularium ( Russian Perspectives of Regular Solids ) descrie un mare dodecaedru și un mare dodecaedru stelat [5] . Aparent, înainte de Kepler, niciunul dintre artiști și oameni de știință nu cunoștea toate proprietățile acestor corpuri.

Dodecaedrele mici și mari, denumite uneori „poliedrele lui Kepler”, au fost descrise pentru prima dată pe deplin în tratatul Harmonices Mundi al lui Johannes Kepler din 1619 [6] . Fiecare dintre aceste corpuri are zona centrală convexă a fiecărei fețe „ascunsă” în interior, cu doar planurile triunghiulare vizibile. Kepler descrie poliedre folosind același model pe care Platon îl folosește în Timeu pentru a descrie construcția poliedrelor regulate din triunghiuri regulate [7] . Ultimul pas al lui Kepler a fost să admită că aceste poliedre sunt regulate chiar dacă nu sunt convexe, spre deosebire de solidele platonice obișnuite .

În 1809, Louis Poinsot a investigat din nou poliedrele lui Kepler și a descoperit încă două poliedre stelate regulate - marele icosaedru și marele dodecaedru [2] . În același timp, Poinsot nu era sigur că a identificat toate tipurile posibile de poliedre stelate regulate. Dar în 1811, Augustin Louis Cauchy a demonstrat că există doar 4 solide stelare regulate care nu sunt compuși ai solidelor platonice și stelate, iar în 1858, Joseph Bertrand a prezentat o demonstrație mai generală [4] . În 1859, Arthur Cayley a dat poliedrelor Kepler-Poinsot numele sub care sunt cunoscute în mod obișnuit astăzi [4] . O sută de ani mai târziu, John Conway a dezvoltat terminologia pentru poligoane stelare. În cadrul acestei terminologii, el a propus nume ușor modificate pentru două dintre poliedre stelare obișnuite [8] .

Terminologia lui Conway este utilizată în prezent, dar nu este utilizată pe scară largă.

Caracteristici

Nonconvexitate

Aceste corpuri au avioane sub formă de pentagoane . Dodecaedrele stelate mici și mari au planuri sub formă de stele regulate neconvexe . Marele dodecaedru și marele icosaedru au planuri convexe [9] [10] .

În toate aceste corpuri, două planuri se pot intersecta, formând o linie care nu este o margine a niciunui plan și, astfel, o parte din fiecare față trece prin interiorul corpului. Astfel de linii de intersecție sunt uneori numite margini false. În mod similar, în cazul în care trei astfel de drepte se intersectează într-un punct care nu aparține unui colț al niciunui plan, aceste puncte sunt numite vârfuri false. De exemplu, micul dodecaedru stelat are 12 fețe pentagonale cu partea centrală pentagonală ascunsă în interiorul corpului. Porțiunile vizibile ale fiecărei fețe constau din cinci triunghiuri isoscele care ating fața în cinci puncte. Puteți considera aceste triunghiuri ca 60 de planuri separate, formând un poliedru nou, neregulat, care arată identic cu originalul în exterior. Fiecare muchie va fi acum împărțită în trei muchii scurte (două tipuri diferite), cu 20 de vârfuri false devenind vârfuri adevărate și astfel un total de 32 de vârfuri (din nou, două tipuri) pentru corp. Pentagoanele interioare ascunse nu vor mai face parte din suprafața poliedrică și pot dispărea. Acum , caracteristica Euler conține: 60 - 90 + 32 = 2. Dar acest nou poliedru nu mai este descris de simbolul Schläfli {5/2, 5} și, prin urmare, nu este un corp Kepler-Poinsot, deși încă arată ca unul. dintre ei [10] .

Caracteristica lui Euler χ

Corpurile Kepler-Poinsot acoperă aria sferelor descrise în jurul lor de mai multe ori, centrele fețelor acționând ca puncte de inflexiune pe suprafețe cu plane pentagonale și vârfuri pe alte suprafețe. Din acest motiv, solidele Kepler-Poinsot nu sunt neapărat echivalente din punct de vedere topologic cu o sferă, spre deosebire de solidele platonice, și în special de caracteristica Euler .

nu este întotdeauna cazul pentru ei. Schläfli a stabilit că toate poliedrele trebuie să aibă χ = 2 și a considerat că dodecaedrul stelat mic și dodecaedrul mare nu sunt poliedre regulate [11] . Această viziune nu a fost larg răspândită.

Forma modificată a formulei Euler, derivată de Arthur Cayley [4] , care este valabilă atât pentru poliedre convexe, cât și pentru corpurile Kepler-Poinsot, arată astfel:

Dualitate

Corpurile Kepler-Poinsot există în perechi duale (duale) [12] :

• Dodecaedru stelat mic  - dodecaedru mare
• Marele dodecaedru stelat  este marele icosaedru .

Tabel rezumat al proprietăților

Proprietățile corpurilor Kepler-Poinsot sunt prezentate în următorul tabel [13] :

Relații între poliedre regulate

Dodecaedrul stelat mic și icosaedrul mare au aceleași vârfuri și muchii. Icosaedrul și marele dodecaedru au, de asemenea, aceleași vârfuri și muchii.

Toate cele trei dodecaedre sunt dodecaedre convexe regulate stelate , icosaedrul mare este un icosaedru convex regulat stelat [14] .

Dacă noi muchii și vârfuri apar atunci când figurile se intersectează, poliedrele rezultate nu vor fi regulate , dar pot fi considerate totuși stelate .

În cultura și arta populară

În secolul al XX-lea, cunoscutul reprezentant al artei imp, Maurits Escher , în opera sa a apelat adesea la comploturi bazate pe percepția diferitelor figuri multidimensionale; în special, litografia sa Gravityînfățișează un mic dodecaedru stelat [15] .

Puzzle- ul de permutare din anii 1980, Steaua lui Alexandru,  se bazează pe marele dodecaedru [16] .

Vezi și

• Poliedre multidimensionale regulate
• Poliedru stelar uniform

Note

1. ↑ Cauchy, 1813 , pp. 68-86.
2. ↑ 12 Poinsot , 1810 , pp. 16-48.
3. ↑ Wenninger, 1983 , p. 46.
4. ↑ 1 2 3 4 Stellare și fațetare - o scurtă istorie . Preluat la 10 mai 2014. Arhivat din original la 4 martie 2016. (nedefinit)
5. ↑ Jamnitzer-Galerie a . Preluat la 10 mai 2014. Arhivat din original la 13 octombrie 2016. (nedefinit)
6. ↑ Harmonices mundi . Consultat la 22 noiembrie 2015. Arhivat din original la 22 octombrie 2020. (nedefinit)
7. ↑ Field, 1984 , pp. 207-219.
8. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , pp. 404-408.
9. ↑ Marele Dodecaedru . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original la 10 martie 2021. (nedefinit)
10. ↑ 12 Dodecaedru stelat mic . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original la 4 februarie 2021. (nedefinit)
11. ↑ Schläfli, 1901 .
12. ↑ Poliedru dublu . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original la 30 octombrie 2020. (nedefinit)
13. ↑ Kepler-Poinsot Solid . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original la 21 ianuarie 2021. (nedefinit)
14. ↑ Marele Icosaedru . Consultat la 30 noiembrie 2015. Arhivat din original la 11 noiembrie 2020. (nedefinit)
15. ↑ Escher, 2009 .
16. ↑ Steaua lui Alexandru . Consultat la 22 noiembrie 2015. Arhivat din original la 5 martie 2021. (nedefinit)

Literatură

• M. Wenninger  Modele de poliedre. — M .: Mir, 1974. — 236 p.
• Escher M.K. Arte grafice. - M. : Art-Rodnik, Taschen, 2009. - 96 p. - ISBN 978-5-404-00053-5 .
• J. Bertrand. Note sur la theorie des polyèdres reguliers. - 1858. - Vol. 46. ​​​​- P. 79-82, 117.
• Augustin Louis Cauchy . Recherches sur les polyèdres. - J. de l'École Polytechnique 9. - 1813. - P. 68-86.
• Arthur Cayley . Pe cele patru noi solide regulate ale lui Poinsot. — Filos. Mag.. - 1859. - Vol. 17. - P. 123-127 și 209.
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Capitolul 24, Stele-politopi obișnuiți // Simetria lucrurilor. - 2008. - P. 404-408. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . (Lucrarea 1), Cele nouă solide regulate [Proc. Poate sa. Matematică. Congress 1 (1947), 252-264, MR 8, 482 ] // Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / editat de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• HSM Coxeter . (Hârtia 10), Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36 ] // Caleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / editat de F. Arthur Sherk , Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Publicația Wiley-Interscience, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• P. Cromwell. Poliedre. — Cabridgre University Press, Hbk., 1997.
• Field, JV Un astrolog luteran: Johannes Kepler. — Arhiva pentru Istoria Științelor Exacte. - 1984. - Vol. 31, nr. 3. - P. 207-219.
• Theoni Pappas. (Solidele Kepler-Poinsot) Bucuria matematicii . - San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, 1989. - P. 113.
• Louis Pointot . Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique. - 1810. - Vol. 9. - P. 16-48.
• Lakatos, Imre . Dovezi și dezmințiri. — Cambridge University Press, 1976.
• Schlafli, Ludwig . Theorie der vielfachen Kontinuität / editor JHGraf. - Republicat de Biblioteca Universității Cornell monografii istorice de matematică 2010. - Zürich, Basel: Georg & Co., 1901. - ISBN 978-1-4297-0481-6 .
• Wenninger, Magnus. Modele duble . - Cambridge University Press, 1983. - P.  39-41 . — ISBN 0-521-54325-8 .

Link -uri

•  Modele de hârtie ale poliedrelor Kepler-Poinsot . Preluat: 20 noiembrie 2015.
• Modele gratuite de hârtie (plase) de poliedre Kepler-Poinsot  (engleză) . Preluat: 20 noiembrie 2015.
• Poliedre  uniforme . Preluat: 20 noiembrie 2015.
• Modele VRML ale  poliedrelor Kepler-Poinsot . Preluat: 20 noiembrie 2015.
• Stellare și fațetare - o scurtă  istorie . Preluat: 20 noiembrie 2015.
• Stella: Polyhedron  Navigator . Preluat: 20 noiembrie 2015.