Teorema indicelui Atiyah-Singer

Teorema indicelui Atiyah-Singer este o afirmație despre egalitatea indicilor analitici și topologici ai unui operator eliptic pe o varietate închisă [1] . Înființată și dovedită în 1963 de Michael Athya și Isadore Singer .

Rezultatul a contribuit la descoperirea de noi conexiuni între topologia algebrică , geometria diferențială și analiza globală [2] , a găsit aplicație în fizica teoretică , iar studiul generalizărilor acesteia s-a format într-o direcție separată a teoriei -teoriei - indicelui [3] . $K$

Definiții și formulare

Indicele analitic al unui operator diferenţial , unde şi sunt mănunchiuri vectoriale netede peste o varietate închisă diferenţiabilă , este diferenţa dintre dimensiunile nucleului său şi ale nucleului său : $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$ $E$ $F$ $X$

i_{a}(d)={\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Ker}}\,d-{\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Coker}}\,d={\ mathrm {dim}}\,d^{{-1}}(0)-{\mathrm {dim}}\,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty }(E))

Pentru operatorii eliptici aceste dimensiuni sunt finite.

Indicele topologic al unui operator eliptic este definit ca: $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

i_{t}(d)=\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}[\Sigma (X)]

unde este simbolul operatorului care definește izomorfismul lifturilor , este mănunchiul de sfere unitare ale pachetului cotangent al colectorului , este fasciculul peste lipirea a două instanțe ale spațiului de mănunchiuri de bile unitare în ( este limita ) ; este caracterul coomologic al mănunchiului Chern ; este clasa de coomologie Todd a fasciculului cotangent complexat ; ; , iar partea " " înseamnă luarea componentei - dimensionale a elementului pe ciclul fundamental al varietatii . $\sigma (d)$ $d$ $\sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$ $\pi \colon S(X)\la X$ $T^{*}X$ $X$ $V(\sigma )$ $\pi ^{{+*}}(E)\cup _{\sigma }(d)\pi ^{{-*}}(F)$ $\Sigma (X)=B^{+}\cup _{{S(X)}}B^{-}$ $B(X)$ $T^{*}X$ $S X)$ $B(X)$ ${\mathrm {ch}}\,V(\sigma )$ $V(\sigma )$ ${\mathcal T}(X)$ $T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X$ $\pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)={\mathcal T}(\Sigma (X))$ $[\Sigma(X)]$ $2n$ $\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}$ $\Sigma (X)$

Afirmația teoremei constă în egalitatea indicilor analitici și topologici ai operatorilor eliptici pe varietăți închise.

Istorie

Manifestări particulare ale relației exprimate în teorema indicelui au fost descoperite încă din secolul al XIX-lea, cum ar fi, de exemplu, formula Gauss-Bonnet , care leagă caracteristica Euler a unei suprafețe cu curbura sa Gauss și curbura geodezică a limitei sale, precum şi generalizările sale multidimensionale. O altă manifestare a unei astfel de conexiuni este teorema Riemann-Roch pentru curbele algebrice nesingulare (1865) iar generalizarea acesteia la mănunchiuri vectoriale arbitrare pe varietăți complexe compacte este teorema Riemann-Roch-Hirzebruch (1954).

Problema unei posibile relații între indicele analitic al operatorilor eliptici și caracteristicile topologice ale acestora a fost formulată de Israel Gelfand în 1960 [4] , atrăgând atenția asupra invarianței indicelui analitic în raport cu deformațiile operatorului. În 1963, Atiya și Singer au găsit o astfel de caracteristică topologică; în 1964 a fost publicată o dovadă pentru varietăţi cu graniţă . Primele versiuni ale demonstrației au folosit o tehnică similară cu demonstrația lui Friedrich Hirzebruch a generalizării ipotezei Riemann-Roch, implicau în mare măsură mijloacele teoriei coomologiei și cobordismului și s-au distins printr-o complexitate tehnică considerabilă [5]. ] . Câțiva ani mai târziu, formularea și demonstrația au fost traduse în limbajul teoriei , simplificând astfel în mod semnificativ demonstrația și deschizând posibilitatea unor generalizări ulterioare, iar în anii 1970-1990 s-au obținut analogi ai teoremei pentru clase speciale mai largi și diferite. a obiectelor. $K$

Teorema indicelui (împreună cu teoria - și un analog al formulei Lefschetz pentru operatorii eliptici) a fost menționată în nominalizarea lui Atiyah pentru Premiul Fields din 1966 . În 2004, Atiyah și Singer au primit premiul Abel [6] pentru teorema lor index . $K$

Consecințele

Din teoremă rezultă că indicele topologic al unui operator eliptic pe o varietate închisă este un întreg [1] . O altă consecință este că indicii analitici și topologici pentru un operator pe o varietate de dimensiune impară sunt egali cu zero [1] .

Teorema Riemann-Roch și generalizările ei - teorema Riemann-Roch-Hirzebruch și teorema Riemann-Roch-Grothendieck - sunt consecințe naturale ale teoremei indicelui.

Note

↑ 1 2 3 Sardanashvili G. A. Geometrie și câmpuri cuantice. — Metode moderne de teorie a câmpului. - M. : URSS, 2000. - T. 4. - S. 146. - 160 p.
↑ Science Lives : Michael Atiyah . Fundația Simons. Preluat la 26 august 2014. Arhivat din original la 27 septembrie 2013.
↑ 19K56 - Teoria indicilor . Clasificarea disciplinelor matematice . AMS (2010). Preluat: 30 august 2014. (nedefinit)
↑ I. M. Gelfand. Despre ecuații eliptice // Progrese în științe matematice . - Academia Rusă de Științe , 1960. - T. 15 , nr. 9 , nr 93 . - S. 121-132 . — ISSN 0042-1316 . - doi : 10.1070/RM1960v015n03ABEH004094 . (Rusă)
↑ Atiyah, Singer, 1968 .
↑ Vechea teoremă a fost apreciată pe merit (link inaccesibil) . MIGNews.com. Preluat la 26 august 2014. Arhivat din original la 26 august 2014. (nedefinit)

Literatură

R. Palid. Seminar despre teorema indicelui Atiyah-Singer. — M .: Mir, 1970.
M. F. Atiya, I. M. Zinger. Indicele operatorilor eliptici. I = Indicele operatorilor eliptici. I // Avansuri în științe matematice / Per. din engleza. S. I. Gelfand. - Academia Rusă de Științe , 1968. - T. 23 , nr. 5 , nr. 143 . - S. 99-142 . — ISSN 0042-1316 . (Rusă)
Index de formule - articol Enciclopedia Matematicii . M. I. Voitsekhovsky, M. A. Shubin