Teorema lui Bely

Teorema lui Belyi este o afirmație fundamentală în geometria algebrică : orice curbă algebrică nesingulară definită de coeficienți algebrici reprezintă o suprafață Riemann compactă , care este o acoperire ramificată a sferei Riemann care se ramifică numai în trei puncte. Instalat de Gennady Bely în 1979 ; rezultatul a fost neașteptat și, în legătură cu acesta , Grothendieck a creat o nouă direcție în geometria algebrică - teoria desenelor pentru copii , care descrie curbe algebrice non-singulare asupra numerelor algebrice folosind combinatorie. $C$

Din teoremă rezultă că suprafața Riemann considerată poate fi înțeleasă ca , unde este semiplanul superior , și este un subgrup cu indice finit în grupul modular compactat prin adăugarea de cuspi . Deoarece un grup modular are subgrupuri incongruente , nu rezultă că o astfel de curbă este o curbă modulară . $H/\Gamma$ $H$ $\Gamma$

Funcția Belyi este o mapare holomorfă de la o suprafață compactă Riemann la o linie proiectivă complexă , ramificată doar peste trei puncte, care, după transformarea Möbius , pot fi considerate puncte . Funcțiile lui Bely pot fi descrise combinatoriu cu ajutorul desenelor copiilor . În același timp, funcțiile Belyi și desenele copiilor se găsesc în lucrările lui Felix Klein din 1879 [1] , unde sunt folosite pentru a studia acoperirea de 11 ori a liniei proiective complexe cu grupul de monodromie PSL(2). ,11) [2] . $S$ $P^{1}\mathbb {C}$ $\{0,1,\infty \)$

Teorema lui Belyi este o teoremă de existență pentru funcțiile lui Belyi și este utilizată activ în cercetarea problemei inverse Galois .

Literatură

Jean-Pierre Serre . Prelegeri despre teorema Mordell-Weil / Tradus din franceză de Martin Brown din note de Michel Waldschmidt. - Al treilea. — Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. - (Aspecte ale matematicii). - ISBN 3-528-28968-6 . - doi : 10.1007/978-3-663-10632-6 .
Felix Klein. Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. - 1879. - T. 15 , nr. 3-4 . — S. 533–555 . - doi : 10.1007/BF02086276 .
Belyi GV On Galois extensii ale unui câmp circular maxim // Izvestiya AN SSSR , serie matematică. - 1979. - T. 43 , nr. 2 . — S. 267–276 .
Bely GV O nouă demonstrație a teoremei în trei puncte // Colecție matematică . - 2002. - T. 193 , nr 3 . - S. 21-24 .
Lieven le Bruyn. Klein's dessins d'enfant and the buckyball . — 2008.

Ernesto Girondo, Gabino González-Diez. Introducere în suprafețele compacte Riemann și desenele de copii. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 79. - (London Mathematical Society Student Textes). — ISBN 978-0-521-74022-7 .
Wushi Goldring. Teme unificatoare sugerate de Teorema lui Belyi // Teoria numerelor, Analiză și Geometrie. În memoria lui Serge Lang / Dorian Goldfeld, Jay Jorgenson, Peter Jones, Dinakar Ramakrishnan, Kenneth A. Ribet, John Tate. - Springer, 2012. - S. 181-214. - ISBN 978-1-4614-1259-5 .