Teorema Darboux în geometria simplectică

Teorema Darboux din geometria simplectică este afirmația că pentru orice structură simplectică dată pe o varietate , orice punct din are o vecinătate deschisă și coordonate locale în ea, în care forma simplectică ia forma canonică . $M^{{2n}}$ $M^{{2n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$ $\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j)$

Formulare

Să fie o structură simplectică pe . Atunci pentru orice punct există întotdeauna o vecinătate cu astfel de coordonate regulate locale , în care forma este scrisă în cea mai simplă formă canonică, și anume: $\omega$ $M^{{2n}}$ $x\in M^{2n)$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$

\omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i)

adică în fiecare punct al acestei vecinătăți, matricea ia forma bloc $\left(\omega _{ij}\right)$

{\begin{pmatrix}\mathbb {0} și\mathbb {E} \\-\mathbb {E} și\mathbb {0} \end{pmatrix))

unde și sunt matricele zero și, respectiv, identitate . Setul de coordonate se numește coordonate canonice sau coordonate Darboux , iar seturile de coordonate și sunt conjugate canonic unele cu altele. $\mathbb {0}$ ${\mathbb {E}}$ $n\ ori n$ $2\,n$ $(q,\,p)$ $n$ $q$ $p$

Dovada

Dovada modernă a teoremei lui Darboux folosește așa-numitul truc Moser . Este clar mai ales asupra varietatilor simplectice închise. Și anume, să fie două forme simplectice pe varietatea care aparțin aceleiași clase de coomologie de Rham . Apoi (de exemplu, luând în considerare combinațiile lor liniare: conul formelor nedegenerate este convex) ele pot fi înrudite printr-o familie de forme simplectice cu un singur parametru, astfel încât clasa lor de coomologie să fie aceeași. Prin urmare, prin definiția coomologiei de Rham, avem dreptul de a scrie , unde este o formă 1. Fie un câmp vectorial astfel încât (un astfel de lucru există datorită nedegenerarii tuturor formelor ). $\omega _{0},\omega _{1)$ $X$ $\omega _{t)$ $t\in [0;1]$ ${\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}$ $\eta _{t}$ $v_{t}$ $\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$ $\omega _{t)$

Să compunem aceste două familii, și anume, câmpuri vectoriale și 2-forme, într-un singur câmp vectorial definit pe o varietate cu graniță ca și o singură 2-formă , restrânsă la orice subvarietate ca (ne identificăm implicit cu uitând timpul coordonate, și fără acea constantă pe ) și dispare atunci când un câmp vectorial este substituit în el . Rețineți că, în general, forma nu este închisă ca formă pe : scriind o formulă explicită pentru diferența de Rham, este ușor să vedeți egalitatea (împreună cu dispariția identică de-a lungul subvarietăților , forma 3 este determinată în mod unic ). $V$ $X\times [0;1]$ $V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t))-(v_{t})_{x)$ $\Omega$ $X_{t}=X\times \{t\)$ $\omega _{t)$ $X_{t}$ $X$ $X_{t}$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $\Omega$ $X\times [0;1]$ $\iota _{\frac {\partial }{\partial t))d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t)} {\partial t)}$ $X_{t}$ $d\Omega$

Deci, să aplicăm formula lui Cartan: . Prin urmare, fluxul câmpului vectorial păstrează forma . În același timp, fluxul său transformă subvarietăți unele în altele. Prin urmare, maparea Cauchy definită de acesta , care mapează punctul inițial al curbei integrale la punctul său final, transformă constrângerea de formă în constrângerea de formă , adică definește un difeomorfism transformându -se în . $\left(\mathrm {Minciuna} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right) _{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}- d\eta _{t}=0$ $V$ $\Omega$ $X_{t}$ $X_{0}\la X_{1}$ $\Omega$ $\Omega$ $X$ $\omega_0$ $\omega_{1}$

În special, atunci când varietatea este bidimensională, forma simplectică este aceeași cu forma ariei, astfel încât clasa de coomologie corespunzătoare este definită de un singur număr, integrala sa peste ciclul fundamental, cu alte cuvinte, aria lui suprafata. Astfel, clasa de simplectomorfism a unei suprafețe simplectice este determinată în mod unic de genul și aria sa. Acest fapt era cunoscut, se pare, chiar și lui Poincaré . $X$

Dovada pentru zona deschisă (adică afirmația originală a teoremei lui Darboux) este oarecum mai plictisitoare, deși nu necesită alte idei esențiale și se află în cartea [1] .

Variații și generalizări

O variantă a teoremei lui Darboux pentru subvarietățile lagrangiene se datorează lui Weinstein . Și anume, există o structură simplectică canonică pe spațiul total al pachetului cotangent la fiecare varietate. Pe de altă parte, dacă este o varietate simplectică și este o subvarietate lagrangiană (adică o subvarietate semidimensională astfel încât ), atunci există un izomorfism al fasciculelor tangente și conormale la : vectorul tangent este trimis la dispariția funcțională. at şi deci definit pe spaţiul normal ; în virtutea nedegenerării formei , fiecare funcțional pe un spațiu normal se obține astfel. Prin dualizare, se poate gândi la această mapare ca la o mapare de la pachetul cotangent la pachetul normal. Teorema Darboux-Weinstein afirmă că această mapare poate fi integrată într-o mapare reală , unde este o vecinătate tubulară a secțiunii zero a mănunchiului cotangent , în plus, astfel încât este constantă pe ea și ia forma simplectică la simplectic. formular pe . În special, graficele formelor 1 închise sub o astfel de mapare vor trece la subvarietăți lagrangiene în apropiere de . $(X,\omega )$ $Y\subset X$ $\omega |_{Y}\equiv 0$ $Y$ $v$ $\iota _{v}\omega$ $TY$ $TX/TY$ $\omega$ $U\la X$ $U$ $T^{*}Y$ $Y$ $U\subset T^{*}Y$ $X$ $X$ $Y$

Un analog de dimensiuni impare al teoremei Darboux pentru varietățile de contact se datorează lui Gray .

În esență, teorema Darboux înseamnă că varietățile simplectice nu au invarianți locali, ceea ce mută accentul către topologie atunci când le studiază. Structurile complexe au unele asemănări : pentru orice operator cu o structură aproape complexă (adică astfel încât ) care îndeplinește condiția de integrabilitate (adică câmpurile vectoriale imaginare, valorile proprii pentru operator , atunci când sunt comutate, dau un câmp care este de asemenea eigenfor cu eigenvalue ), există o hartă complexă, adică o mapare holomorfă locală într-un domeniu în . Această afirmație constituie teorema Newlander-Nirenberg , a cărei demonstrație este mult mai complicată. Un exemplu de situație în care teorema lui Darboux nu este adevărată este dat de varietățile Riemanniene : pentru o izometrie locală, două metrici trebuie să aibă aceiași tensori de curbură riemannieni . În același timp, metrica riemanniană este mai simplă în sensul că pentru ele condiția de „integrabilitate” (asemănătoare cu condiția de mai sus pentru o structură aproape complexă sau condiția pentru o formă 2 nedegenerată) este întotdeauna satisfăcută automat: pentru un structură aproape simplectică și aproape complexă, condiția de integrabilitate este echivalentă cu existența unei conexiuni liniare fără torsiune , față de care acești tensori sunt paraleli, în timp ce pentru metrica riemanniană o astfel de conexiune există și, în plus, este unică. $I\colon TX\la TX$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ ${\sqrt {-1}}$ $eu$ $eu$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $d\omega =0$

Pentru varietățile simplectice holomorf, nu poate exista nici un analog al teoremei Darboux-Weinstein și din motive esențiale. De exemplu, luați în considerare o suprafață K3 cu un fascicul eliptic non-izotrivial (adică un fascicul a cărui fibră comună este netedă, iar în vecinătatea oricărei fibre non-singulare toate straturile sunt curbe eliptice neizomorfe perechi) și este una dintre fibrele acestui mănunchi. Mănunchiul cotangent holomorf la o curbă eliptică este trivial, iar graficele formelor 1 închise, adică secțiunile sale constante, sunt curbe eliptice biholomorfe cu cea dată. Pe de altă parte, după cum a observat Hitchin , o formă simplectică holomorfă, privită ca o formă 2 cu coeficienți complecși, face posibilă recuperarea structurii complexe pe o varietate în mod unic. Dacă ar exista o mapare , unde este o vecinătate a secțiunii zero, care mapează o formă holomorfică simplectică într-o formă holomorfă simplectică pe , atunci ar fi holomorfă în sine și ar fi hartă curbele apropiate de curbele apropiate de , în plus, biholomorfă . Dar reiese clar din formula adjuncției că toate deformațiile unei curbe eliptice pe o suprafață K3 formează o familie cu un singur parametru și aparțin aceluiași fascicul eliptic. Prin urmare, dacă pachetul nu este izotrivial, atunci o astfel de mapare nu poate exista. Pentru varietăți holomorfe în varietăți simplectice holomorf (de exemplu, curbe raționale pe suprafețele K3), există încă un analog al teoremei Darboux-Weinstein, dar cheia demonstrației sale nu sunt considerații geometrice precum trucul Moser, ci teoria a singularităților sau chiar a teoriei reprezentării : de exemplu, sub suflarea unei curbe raționale pe suprafața K3 se formează o singularitate de tip A 1 , care este și un factor , care este și o singularitate a conului nilpotent al algebrei Lie ; și toate aceste singularități sunt echivalente până la izomorfismul analitic, care dă un izomorfism pentru vecinătatea curbei înainte de explozie. Pentru curbele de gen mai mare, exact opusul este adevărat: cunoașterea unei vecinătăți arbitrar de mică a curbei permite să reconstruiți suprafața (sau cel puțin câmpul funcțiilor meromorfe de pe ea) în mod unic. În principiu, pentru a măsura măsura în care o vecinătate a unei subvariete complexe nu admite izomorfism cu o vecinătate a secțiunii zero a mănunchiului său normal ar putea fi măsurată folosind un invariant similar cu clasa Ueda ; dar există doar pentru subvarietăți de codimensiunea unu, adică dacă vorbim de subvariete lagrangiene, curbe pe suprafețe. În cazul curbelor eliptice pe suprafețe complexe, a căror fascicul normal este topologic nesemnificativ, criteriul de prezență a unui biholomorfism local cu fascicul cotangent este dat de așa- numita teoremă a lui Arnold pe numitori mici : dacă este normalul. mănunchiul unei curbe eliptice situată pe o suprafață complexă , atunci de-a lungul este vecinătatea locală biholomorfă a secțiunii zero dacă și numai dacă, pentru orice metrică invariantă din grupul Picard , funcția are asimptotice (aceeași condiție privind creșterea numitorilor lui fracțiile convergente la un număr sunt necesare pentru ca acest număr să fie algebric , de unde și denumirea teoremei; este curios că încălcarea unei condiții similare asupra raportului perioadelor de revoluție a corpurilor cerești face circulația pe unele orbite puțin probabilă, ceea ce dă ridică la sloturile Kirkwood și fisiunea Cassini , vezi mai multe detalii în articolul „ Rezonanța orbitală ”). În același timp, în dimensiuni mari, această știință este departe de a fi completă: de exemplu, conjectura Matsushita , care afirmă că fibrarea lagrangiană pe o varietate hiperkähler este fie izotrivială, fie fibrele sale (care sunt întotdeauna varietăți abeliene - aceasta este o metodă ușoară ). teorema) constituie o familie de dimensiuni deplină în modulele spațiale ale soiurilor abeliene nu a fost încă dovedită (deși în 2015 au fost înregistrate progrese semnificative în această problemă de către van Gemen și Voisin ). $X$ $E$ $U\la X$ $U\subset T^{*}E$ $T^{*}E$ $X$ $E\subset U$ $E\subset X$ $E$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $L$ $E$ $X$ $X$ $E$ $L$ $\rho$ $\mathrm {Imagine} (E)$ $-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$ $O(\ln n)$

Faptul că nu există nicio speranță pentru existența teoremei Darboux-Weinstein pentru varietățile simplectice holomorf poate fi arătat într-un alt mod. Și anume, pe o vecinătate a secțiunii zero are loc o acțiune holomorfă a grupului , care înmulțește vectorii cotangenți cu numere complexe egale ca modul cu unu. În exemplul de mai sus al unei suprafețe K3 eliptice non-izotriviale, o astfel de acțiune locală este imposibilă, deoarece toate fibrele sale din orice vecinătate sunt perechi non-biholomorfe. Într-un fel, această considerație este singurul obstacol în calea existenței unui analog al teoremei Darboux-Weinstein pentru varietăți holomorfic simplectice. În orice caz, următoarea teoremă este cuprinsă în memoria lui Kaledin , prezentată de acesta la Trieste în 1994: [2] $\mathrm {U} (1)$

Fie o varietate simplectică holomorfă înzestrată cu o acțiune de grup holomorfă regulată astfel încât elementul să înmulțească forma simplectică holomorfă cu numărul . Apoi există o vecinătate deschisă a setului de puncte fixe ale acestei acțiuni și o mapare canonică astfel încât metrica hyperkähler este indusă de această mapare din structura canonică hyperkähler la . $X$ $\mathrm {U} (1)$ $z\in \mathrm {U} (1)$ $z\in \mathbb {C}$ $U\subset X$ $Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X$ $U\la T^{*}Y$ $U$ $T^{*}Y$

El a dovedit, de asemenea, o versiune a acestei afirmații pentru varietăți hipercomplexe mai generale.

Note

↑ Geometrie simplectică. Metode și aplicații., 1988 , p. 84-867.
↑ ed.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Structuri cuaternionice în matematică și fizică (engleză) . - World Scientific , 2001. - P. 199 . — ISBN 981-02-4630-7 .

Literatură

Fomenko A.T. Geometrie simplică. Metode și aplicații. - M. : MGU, 1988. - 413 p. — ISBN 5-211-00083-8 .