Teorema semnăturii lui Rokhlin

Teorema semnăturii lui Rokhlin este o teoremă de topologie cu patru dimensiuni . Dovedit de Vladimir Abramovici Rokhlin în 1952.

Formulare

Să presupunem că o varietate 4 netedă, închisă, conectată simplu îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente: $M$

$M$ are o structură spinor .
$w_{2}(M)=0$ ; adică a doua clasă Stiefel-Whitney este zero.
Forma intersecțiilor este uniformă. $M$

Atunci semnătura formei sale de intersecție este divizibilă cu 16.

Note

Prin teorema lui Jahit Arf , orice rețea unimodulară chiar are o semnătură care este un multiplu de 8, așa că teorema lui Rokhlin implică doar un doi suplimentari care împart semnătura. Din acest motiv, teorema este uneori numită teorema „Rokhlin 2”.

Suprafața K3 este compactă, cu patru dimensiuni și , iar semnătura sa este 16. În special, divizibilitatea în teorema lui Rokhlin nu poate fi îmbunătățită. $w_{2}(M)=0$

O suprafață complexă în grad are semnătură , așa cum se vede din teorema lui Friedrich Hirzebruch asupra genului de varietăți . Pentru , obținem o suprafață K3 . $\mathbb {CP} ^{3}$ $d$ $(4-d^{2})d/3$ $d=4$

Varietatea lui Michael Friedman E8 este o varietate topologică compactă pur și simplu conectată cu semnătura de formă de intersecție 8. Din teorema lui Rokhlin rezultă că această varietate nu are o structură netedă. În special, teorema lui Rokhlin eșuează pentru varietăți topologice (nu netede). $w_{2}(M)=0$ $E_8$

Dacă varietatea este pur și simplu conectată (sau, mai general, dacă primul grup de omologie nu are 2-torsionare), atunci este echivalent cu paritatea formei de intersecție. Acesta nu este cazul varietăților neconectate simplu: suprafața Enriques este o varietate compactă netedă de 4 și are o formă de intersecție uniformă, dar . $M$ $w_{2}(M)=0$ $w_{2}(M)\neq 0$

Despre dovezi

Teorema lui Rokhlin poate fi derivată din faptul că al treilea grup stabil de sfere de homotopie este ciclic de ordinul 24; aceasta este abordarea originală a lui Rokhlin. $\pi _{3}^{S)$

Poate fi derivat din teorema indicelui Atiyah-Singer .

Robion Kirby a dat o altă dovadă.

Link -uri

Alexander Alexandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya deuce , lecții (partea 1) + (partea 2) + (partea 3) pe YouTube .