Manifold

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 22 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

O varietate ( varietate topologică ) este un spațiu similar local euclidian . Spațiul euclidian este cel mai simplu exemplu de varietate. Dimensiunea unei varietăți este determinată de dimensiunea spațiului euclidian cu care se aseamănă local.

Un exemplu mai complex este suprafața Pământului : este posibil să se realizeze o hartă a oricărei zone a suprafeței pământului, de exemplu, o hartă a unei emisfere, dar este imposibil să se facă o singură hartă (plată și fără discontinuități). ) harta întregii sale suprafeţe.

Studiul varietăților a început în a doua jumătate a secolului al XIX-lea; ele au apărut în mod natural în studiul geometriei diferențiale și în teoria grupurilor Lie . Cu toate acestea, primele definiții precise au fost făcute abia în anii 30 ai secolului XX.

De obicei, sunt considerate așa-numitele varietăți netede , adică acelea pe care există o clasă distinsă de funcții netede - în astfel de varietăți se poate vorbi de vectori tangenți și spații tangente. Pentru a măsura lungimile curbelor și unghiurilor, avem nevoie de o structură suplimentară - metrica Riemanniană .

În mecanica clasică , varietatea de bază este spațiul fazelor . În relativitatea generală, o varietate pseudo-Riemanniană cu patru dimensiuni este folosită ca model pentru spațiu -timp .

Definiții

$n$ O varietate topologică -dimensională fără graniță este un spațiu topologic Hausdorff cu o bază numărabilă în care fiecare punct are o vecinătate deschisă homeomorfă la o submulțime deschisă , adică un spațiu euclidian -dimensional . $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

$n$ -varietatea topologică dimensională[ clarificați ] este un spațiu topologic Hausdorff cu o bază numărabilă în care fiecare punct are o vecinătate homeomorfă la o submulțime deschisă a unui semi-spațiu închis în (luăm în considerare și uniuni deschise de submulțimi deschise cu intersecția graniței lor și a hiperplanului limită) . $\mathbb {R} ^{n}$

Punctele care au o vecinătate deschisă homeomorfă la o submulțime deschisă sunt numite interne , iar mulțimea tuturor acestor puncte este interiorul varietatii (este întotdeauna o mulțime nevidă). $\mathbb {R} ^{n}$
Complementul la interior se numește graniță , este o varietate -dimensională fără graniță. $(n-1)$

Caracteristicile definiției

Condiția de numărare de bază este echivalentă cu faptul că varietatea se înglobează într-un spațiu euclidian de dimensiune finită (faptul că o astfel de încorporare există este confirmat de teorema de încorporare a lui Whitney ).
Uneori, în locul condiției de numărare de bază, se folosește o condiție mai slabă pentru ca spațiul să fie paracompact [1] .
Noțiunea de muchie introdusă aici nu este deloc echivalentă cu noțiunea de graniță relativă în topologia generală.
Cerința de a fi Hausdorff poate părea redundantă; Un exemplu de spațiu care este homeomorf la nivel local euclidian, dar nu Hausdorff poate fi construit prin lipirea a două copii ale liniei reale la toate, cu excepția unui punct.

Smooth manifolds

Structura netedă definită mai jos apare în mod obișnuit în aproape toate aplicațiile și face ca colectorul să fie mult mai ușor de lucrat.

Pentru o varietate topologică fără graniță , o hartă este un homeomorfism de la o mulțime deschisă la o submulțime deschisă . Un set de hărți care acoperă totul se numește atlas . $M$ $\varphi$ $U\subset M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M$

Dacă două hărți și acoperă un punct în , atunci compoziția lor definește o hartă de „lipire” de la setul deschis la setul deschis . Dacă toate mapările de lipire sunt dintr-o clasă (adică funcții diferențiabile de ori în mod continuu), atunci atlasul se numește atlas (se poate considera și sau , care corespunde lipirilor infinit diferențiabile și analitice). $\varphi$ $\psi$ $M$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Exemplu: o sferă poate fi acoperită - cu un atlas de două hărți pe adăugările polilor nord și sud cu proiecții stereografice în raport cu acești poli. $C^\infty$

Două atlase definesc o structură netedă dacă uniunea lor este -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

Pentru astfel de varietăți, se pot introduce conceptele de vector tangent , spații tangente și cotangente și mănunchiuri .

Pentru o structură -netedă dată, se poate găsi o structură -netedă dată de un nou -atlas care definește aceeași structură -netedă. Mai mult, toate astfel de varietăți astfel obținute sunt -difeomorfe. Prin urmare, o structură netedă este adesea înțeleasă ca o structură netedă. $C^1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $C^1$ $C^\infty$ $C^1$

Nu orice varietate topologică admite o structură netedă. Exemple de astfel de varietăți „aspre” apar deja în dimensiunea patru. Există, de asemenea, exemple de varietăți topologice care admit mai multe structuri netede diferite. Primul astfel de exemplu de structură netedă non-standard, așa-numita sferă Milnor , a fost construit de Milnor pe o sferă cu șapte dimensiuni.

Exemple

Cel mai simplu exemplu de varietate sunt spațiile $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
Un cerc este o varietate de dimensiunea 1. În general, orice contur care nu se intersectează poate fi considerat o varietate unidimensională. Rețineți că pentru un contur neneted, maparea corespunzătoare a înglobării în nu este o mapare a varietăților netede. $\mathbb {R} ^{n}$
Discul este o varietate cu graniță .
Orice suprafață bidimensională fără margine este un exemplu de varietate bidimensională ( sferă , torus , covrig , …). Conform binecunoscutei teoreme de clasificare topologică, orice varietate bidimensională orientabilă are forma unei sfere cu mai multe mânere lipite.
O bandă Möbius este un exemplu de varietate bidimensională neorientabilă cu graniță. Un exemplu de varietate bidimensională neorientabilă fără graniță este planul proiectiv (varietatea de linii în ). Rețineți că nu poate fi încorporat în . $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$
Toate exemplele de mai sus de colectoare pot fi dotate în mod unic cu o structură netedă. La dimensiuni mai mari, totuși, sunt posibile structuri netede diferite pe aceeași varietate topologică.
Exemple non-triviale de varietăți de orice dimensiune sunt spațiile proiective (o varietate de linii în ) și varietăți Grassmanniene (o varietate de subspații -dimensionale în ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$

Tipuri multiple

O varietate închisă este o varietate compactă conectată fără graniță. Exemple: cerc , sferă , tor , sticla Klein .
O colectoare deschisă este o varietate conectată necompactă fără graniță. Exemple: spațiu euclidian .

Clasificarea varietatilor

Fiecare varietate unidimensională conectată fără graniță este homeomorfă la o linie sau un cerc real.

Clasa homeomorfă a unei suprafețe conexate închise este dată de caracteristica lui Euler și orientabilitatea (dacă suprafața este orientabilă, atunci este o sferă cu mânere , dacă nu, atunci suma conexă a mai multor copii ale planului proiectiv ).

Clasificarea 3 -varietăților închise rezultă din conjectura lui Thurston , care a fost demonstrată recent de Perelman .

Dacă dimensiunea este mai mare de trei, atunci clasificarea este imposibilă; în plus, nu este posibil să se construiască un algoritm care să determine dacă o varietate este pur și simplu conectată . Cu toate acestea, există o clasificare a tuturor varietăților simple conectate în toate dimensiunile ≥ 5.

De asemenea, se pot clasifica varietăți netede.

În dimensiunile 1, 2 și 3, orice pereche de varietăți homeomorfe este, de asemenea, difeomorfă.
În dimensiunea 4, există exemple de varietati închise care admit un număr infinit de structuri netede neechivalente, în timp ce varietățile deschise, cum ar fi , admit un continuum de diferite structuri netede. $\R^4$
În dimensiunile 5 și mai sus, orice varietate topologică admite cel mult un număr finit de structuri neechivalente.

Structuri suplimentare

Manifoldurile netede sunt adesea echipate cu structuri suplimentare. Iată o listă cu cele mai frecvent întâlnite structuri suplimentare:

Tensor metric
Forma simplică
Structură complexă

Variații și generalizări

Vezi și

Varietate algebrică
graf-varietă

Note

↑ S. Lang. Introducere în varietăți diferențiabile. — al 2-lea. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 p. — ISBN 0-387-95477-5 .

Literatură

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. geometria modernă. Metode și aplicații. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 p.

Dimensiunea spațiului
Spații după dimensiune	Zero-dimensionale unidimensional 2D 3D patru dimensionale cinci dimensiuni În șase dimensiuni Șapte-dimensionale octal Nouă-dimensionale n-dimensională Dimensiunea negativă
Politopuri și figuri	Simplex hipercub tesseract Hiperdreptunghi (ortotop) Semihipercub Cross-politope hipersferă
Tipuri de spații	spațiu finit-dimensional Spațiul euclidian spatiu afin spațiu proiectiv Modul gratuit Manifold Dimensiunea unei variabile algebrice spațiu timp
Alte concepte dimensionale	dimensiunea Krull Dimensiunea Lebesgue Dimensiunea inductivă Dimensiunea fracțională ( dimensiunea Minkowski , dimensiunea Hausdorff ) dimensiune fractală Grade de libertate
Matematica