Teorema lui Sard

Teorema lui Sard este una dintre teoremele analizei matematice care are aplicații importante în geometria și topologia diferențială , teoria catastrofelor și teoria sistemelor dinamice . [unu]

Numit după matematicianul american Arthur Sard . [2] În unele surse se numește teorema Bertini-Sard , [3] și este uneori asociată cu numele lui Anthony Morse (el a obținut un rezultat particular anterior) [4] și Shlomo Sternberg (un rezultat mai târziu, dar mai general ). ) [5] .

Formulare

Să fie un set deschis în spațiu și să fie o funcție lină a clasei _ _ _ _ $U$ $\mathbb{R} ^{m}$ $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $S\subset U$ $f.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Note

După cum a arătat H. Whitney , gradul de netezime aici nu poate fi redus prin nicio combinație de și [6] [7] $k$ $m$ $n.$

Exemplu

Să luăm în considerare o funcție constantă identică Toate punctele din domeniul său de definire sunt critice, prin urmare, setul de valori critice constă dintr-un singur punct și, prin urmare, are o măsură Lebesgue zero. $f\equiv f_{0}.$ $U$ $S=U.$ $f(S)$ $f_0$

Variații și generalizări

Lema lui Sarda

Măsura setului de valori critice ale unei funcții -smooth este egală cu zero. $C^1$ $f:[a,b]\la \mathbb {R} ^{1}$

Dovada . Fără a pierde generalitatea, vom lua în considerare un segment . Alegem un număr și împărțim segmentul în părți egale, astfel încât pe fiecare dintre ele fluctuația derivatei să nu depășească Acest lucru se poate face datorită faptului că, conform condiției a lemei, funcția este continuă , prin urmareșisegmentulpe este uniform continuă pe acesta, adică $[a,b]=[0,1].$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $n$ $f'$ $\varepsilon.$ $f'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Se notează cu acele segmente (părți ale partiției făcute mai sus) care conțin cel puțin un punct critic al funcției , adică este evident că pentru astfel de segmente estimarea este valabilă pentru toate , și deci ( Formula incrementelor finite ), pentru oricare două. punctează inegalitatea $\Delta _{i}$ $f,$ $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ $x\in \Delta _{i)$ $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Dacă acoperim fiecare set cu un interval de lungime, atunci vom obține o acoperire a setului tuturor valorilor critice cu intervale a căror sumă de lungimi nu depășește . Datorită arbitrarului alegerii numărului, aceasta înseamnă că măsura setului de valori critice este egală cu zero. $f(\Delta _{i})$ $2{\cdot }\varepsilon /n,$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Teorema lui Dubovitsky

Fie și două varietăți netede de dimensiuni pozitive și și fie o funcție netedă a clasei în care Un punct se numește neregulat dacă rangul matricei iacobiene a funcției din acesta este mai mic decât Punct se numește neregulat dacă pentru cel puțin un punct neregulat . În acest caz, noțiunea de punct neregulat coincide cu noțiunea de punct critic al unei funcții. În acest caz, toate punctele colectorului sunt neregulate. $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ $f:M^{m}\la N^{n}$ $C^{k},$ $k\geqslant 1.$ $x\in M^{m)$ $f$ $n.$ $y\in N^{n)$ $y=f(x)$ $x\in M^{m)$ $m\geqslant n$ $m<n$ $M^{m}$

Dacă un număr , atunci mulțimea de puncte neregulate de mapare din varietate are prima categorie Baer , adică este o uniune finită sau numărabilă de mulțimi compacte care nu sunt nicăieri dense în $k\geqslant m-n+1,$ $f$ $N^{n}$ $N^{n}.$

Această teoremă a fost demonstrată de matematicianul sovietic A. Ya. Dubovitsky [8] [9] [10] .

Alți analogi

Un analog infinit-dimensional al teoremei lui Sard (pentru varietăți în spațiile Banach ) a fost obținut de Stephen Smale [11] . Analogii pentru mapările spațiilor Hölder și Sobolev au fost obținuți în [12] . Un analog pentru funcțiile de netezime redusă a fost obținut în [13] .

Literatură

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularități ale cartografiilor diferențiabile, — Orice ediție.
Zorich V. A. Analiză matematică, - Orice ediție.
Milnor J., Wallace A. Topologie diferențială (curs inițial), - Orice ediție.
Hirsch M. Topologie diferențială, - Orice ediție.
Spivak M. Analiza matematică asupra varietăților, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații, - Orice ediție.
Sard A. Măsura valorilor critice ale hărților diferențiabile, Bull. amer. Matematică. Soc. 48 (1942), pp. 883-890.
Sternberg S. Lectures on differental geometry, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Varietăți Smooth și aplicarea lor în teoria homotopiei. — M.: Nauka, 1985. — 176 p.

Note

↑ Arnold V. I. Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare, paragraful 10.
↑ Sard A. Măsura valorilor critice ale hărților diferențiabile, - Bull. amer. Matematică. Soc. 48 (1942), pp. 883-890. . Consultat la 7 mai 2010. Arhivat din original la 12 octombrie 2012. (nedefinit)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of différentiable mappings, paragraful 2.
↑ Morse AP Comportamentul unei funcții pe setul său critic. — Analele matematicii, voi. 40, nr. 1 (1939), pp. 62-70.
↑ Sternberg S. Prelegeri de geometrie diferenţială.
↑ Zorich V. A. Analiză matematică, volumul II, capitolul XI, paragraful 5.
↑ Whitney H. O funcție care nu este constantă pe o mulțime conectată de puncte critice, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. Despre mapările diferențiabile ale unui cub n - dimensional într-un cub k - dimensional. Mat. Sb., 1953, 32(74):2, p. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya. Despre structura seturilor de niveluri de mapări diferențiabile ale unui cub n - dimensional într-un cub k - dimensional. Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 1957, 21:3, p. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Varietăți netede și aplicațiile lor în teoria homotopiei, - Orice ediție.
↑ Smale S. O versiune dimensională infinită a teoremei lui Sard, - American Journal of Mathematics, vol. 87, nr. 4 (1965), pp. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Teorema lui Strzelecki P. Sard pentru mapări în spații Holder și Sobolev, - Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Pe un analog al teoremei lui Sard pentru funcțiile -smooth a două variabile, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, p. 1083-1091. $C^1$