Teorema privind modificarea impulsului sistemului

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 februarie 2019; verificările necesită 5 modificări .

Teorema privind modificarea cantității de mișcare (impuls) a sistemului este una dintre teoremele generale ale dinamicii [1] , este o consecință a legilor lui Newton . Asociază cantitatea de mișcare cu impulsul forțelor externe care acționează asupra corpurilor care alcătuiesc sistemul. Sistemul la care se face referire în teoremă poate fi orice sistem mecanic format din orice corp [2] [3] .

Enunțul teoremei

Cantitatea de mișcare (momentum) a unui sistem mecanic este o valoare egală cu suma cantităților de mișcare (momentum) ale tuturor corpurilor incluse în sistem. Impulsul forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului este suma impulsurilor tuturor forțelor externe care acționează asupra corpurilor sistemului.

Teorema schimbării impulsului pentru un sistem afirmă [2] [3] :

Teorema permite generalizarea în cazul cadrelor de referință neinerțiale . În acest caz, este necesar să se adauge forțele de inerție portabile și Coriolis la forțele externe [4] .

Dovada

Fie sistemul format din puncte materiale cu mase și accelerații . Toate forțele care acționează asupra corpurilor sistemului pot fi împărțite în două tipuri: $N$ $m_{i}$ ${\vec a}_{i}$

Forțele externe sunt forțe care acționează din partea corpurilor care nu sunt incluse în sistemul în cauză. Rezultanta forțelor externe care acționează asupra unui punct material cu numărul i se va nota cu . $\vec F_i$
Forțele interne sunt forțele cu care corpurile sistemului însuși interacționează între ele. Se va nota forța cu care acționează un punct cu numărul k asupra unui punct cu numărul i , iar forța punctului i asupra punctului k - . Evident, dacă , atunci ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Folosind notația introdusă, scriem a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale considerate în formă

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.

Ținând cont de faptul că și însumând toate ecuațiile celei de-a doua legi a lui Newton, obținem: $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d (m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v)}_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Expresia este suma tuturor forțelor interne care acționează în sistem. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, în această sumă, fiecărei forțe îi corespunde o forță astfel încât și, prin urmare, este satisfăcută.Deoarece întreaga sumă este formată din astfel de perechi, suma în sine este egală cu zero. Astfel, se poate scrie $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v)}_{i})}{dt))=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Folosind denumirea pentru impulsul sistemului , obținem $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ ${\vec {P}}$

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Introducând în considerare modificarea impulsului forțelor externe , obținem expresia teoremei asupra modificării impulsului sistemului în formă diferențială: $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$

d{\vec {P}}=d{\vec {R}.

Astfel, fiecare dintre ultimele ecuații obținute ne permite să afirmăm: modificarea impulsului sistemului are loc numai ca urmare a acțiunii forțelor externe, iar forțele interne nu pot avea niciun efect asupra acestei valori.

După ce am integrat ambele părți ale egalității obținute într-un interval de timp luat în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: $t_{1}$ $t_{2}$

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

unde și sunt valorile cantității de mișcare a sistemului în momentele de timp și , respectiv, și este impulsul forțelor externe pe intervalul de timp . În conformitate cu cele de mai sus și cu notația introdusă, ${\vec {P}}_{1}$ ${\vec {P}}_{2}$ $t_{1}$ $t_{2}$ ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ $t_{2}-t_{1}$

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {F}}_{i}(t)dt.

Legea conservării impulsului unui sistem

Din teorema privind modificarea impulsului sistemului, rezultă că în absența forțelor externe (sistem închis), precum și atunci când suma tuturor forțelor externe este egală cu zero și . Cu alte cuvinte, relația $d{\vec {P}}=0$ ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$

{\vec {P}}=const.

Astfel concluzia urmează:

Această afirmație este conținutul legii conservării impulsului a sistemului [2] [3] .

Există cazuri când suma forțelor externe nu este egală cu zero, dar proiecția sa pe orice direcție este egală cu zero. Apoi, modificarea proiecției cantității de mișcare a sistemului pe această direcție este, de asemenea, egală cu zero, adică, după cum se spune, cantitatea de mișcare în această direcție este conservată .

Cazul unui sistem cu constrângeri staționare ideale

În cazurile în care subiectul de studiu este doar mișcarea sistemului, iar reacțiile legăturilor nu prezintă interes, se utilizează formularea teoremei pentru un sistem cu legături staționare ideale, care este derivată ținând cont de d' Principiul Alembert-Lagrange .

Teorema privind modificarea impulsului unui sistem cu constrângeri staționare ideale se arată [5] :

„Activ” în raport cu forțele (mai jos sunt marcate cu un simbol în formule) înseamnă „a nu fi reacții ale legăturilor”. $^{a)$

Într-adevăr, conform condiției, în orice moment toate punctele sistemului permit deplasarea pe o paralelă cu axa fixă . Înlocuind în ecuația generală a dinamicii cu , obținem: $\delta x$ $X$ $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {i}}\delta x$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\ vec{i}}\delta x

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}} _{k}){\vec {i))

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

in sfarsit gasim:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

În penultima ecuație, suma forțelor active include forțele active externe și active interne. Cu toate acestea, suma geometrică a forțelor active interne, ca perechi egale și opuse, este egală cu zero, prin urmare, numai forțele active externe (o pictogramă suplimentară din engleza externă ) sunt prezentate în ecuația finală. ${\vec {F}}_{k}^{a}$ $^{e)$

Istorie

Despre legea conservării impulsului, Isaac Newton , în celebra sa lucrare „ Principii matematice ale filosofiei naturale ”, publicată în 1687 , scria: opus, nu se schimbă din interacțiunea corpurilor între ele” [6] . Comentatorul, în legătură cu această formulare, observă că, deși ia în considerare doar cazul corpurilor care se deplasează de-a lungul unei linii drepte, I. Newton, așa cum arată celelalte afirmații ale sale din aceeași carte, în opinia sa, nu sa limitat la acest caz particular. [6] .

Vezi și

Note

↑ Targ S. M. Dynamics // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Aharonov - Efectul Bohm - Rânduri lungi. - S. 616-617. — 707 p. — 100.000 de exemplare.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Şcoala superioară, 1995. - S. 280-284. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Markeev A.P. Mecanica teoretică. - M . : Chero, 1999. - S. 157-159. — 572 p.
↑ Zhirnov N. I. Mecanica clasică. — Serie: manual pentru studenții facultăților de fizică și matematică din institutele pedagogice. - M., Iluminismul , 1980. - Tiraj 28.000 exemplare. - Cu. 260
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Liceu, 1999. - S. 221. - ISBN 5-06-003587-5
↑ 1 2 Isaac Newton . Principii matematici ale filosofiei naturale = Philosophia naturalis principia matematica / Traducere din latină și note de A. N. Krylov . - M. : Nauka, 1989. - S. 45. - 688 p. - (Clasice ale științei). - ISBN 5-02-000747-1 .