Teoria Fredholm

Teoria lui Fredholm este o ramură a teoriei ecuațiilor integrale ; în sens restrâns - studiind ecuaţiile integrale Fredholm , într - o interpretare largă - reprezentând un set de metode şi rezultate în teoria spectrală a operatorilor Fredholm şi utilizând conceptul de nuclee Fredholm într - un spaţiu Hilbert .

Numit după principalul dezvoltator - matematicianul suedez Erik Ivar Fredholm .

Ecuații omogene

O mare parte din teoria lui Fredholm se referă la găsirea de soluții la ecuația integrală :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Această ecuație apare în mod natural în multe probleme de fizică și matematică, ca o inversare a unei ecuații diferențiale . Adică, sarcina este de a rezolva ecuația diferențială:

lg(x)=f(x)

unde funcția este dată și este necunoscută. Iată un operator diferenţial liniar . De exemplu, puteți lua pentru operatorul eliptic : $f$ $g$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

într-un astfel de caz, ecuația care se rezolvă devine ecuația Poisson . Metoda generală de rezolvare a unor astfel de ecuații este de a folosi funcțiile lui Green , adică, fără a acționa direct, pentru a încerca să rezolvi ecuația:

LK(x,y)=\delta (xy)

unde este functia delta Dirac . Mai departe: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Această integrală este scrisă sub forma ecuației integrale Fredholm . Funcția este cunoscută ca funcția lui Green sau nucleul integralei . $K(x,y)$

În teoria generală, și poate aparține oricărei varietăți ; linie reală sau spațiu euclidian -dimensional în cele mai simple cazuri. Teoria generală cere adesea ca funcțiile să aparțină unui spațiu de funcții dat : adesea, spațiul funcțiilor pătrat-integrabile sau spațiul Sobolev . $X$ $y$ $m$

Spațiul funcțional efectiv utilizat este adesea determinat în rezolvarea problemei cu valori proprii a unui operator diferențial; adica dupa solutii:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

unde sunt valorile proprii și sunt vectori proprii. Mulțimea vectorilor proprii formează un spațiu Banach și unde există produsul interior natural , apoi un spațiu Hilbert , pe care se aplică teorema lui Riesz . Exemple de astfel de spații sunt polinoamele ortogonale , care apar ca soluții la o clasă de ecuații diferențiale ordinare de ordinul doi. $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Având în vedere un spațiu Hilbert, nucleul poate fi scris sub forma:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

unde este dual cu . În această formă, obiectul este adesea numit operator Fredholm sau nucleul Fredholm . Că acesta este același nucleu rezultă din completitudinea bazei spațiului Hilbert, și anume: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Deoarece de obicei crește, valorile proprii rezultate ale operatorului scad spre zero. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Ecuații neomogene

Ecuația integrală Fredholm neomogenă:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

poate fi scris formal ca:

f=(K-\omega )\phi

Atunci soluția formală este:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

O soluție în această formă este cunoscută sub denumirea de formalism rezolutiv , unde soluția este definită ca operator

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

Un set dat de vectori proprii și valori proprii poate fi asociat cu o rezoluție de o formă specifică: $K$

R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

cu solutie:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

O condiție necesară și suficientă pentru existența unei astfel de soluții este una dintre teoremele lui Fredholm . Soluția este de obicei extinsă într-o serie de puteri , caz în care este cunoscută ca seria Liouville-Neumann . Atunci ecuația integrală se scrie astfel: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

Rezolvarea este scrisă într-o formă alternativă:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

determinantul lui Fredholm

Determinantul Fredholm este de obicei definit ca:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr}\,K^{n}\ dreapta]

unde și așa mai departe. Funcția zeta corespunzătoare este : $\operatorname {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operatorname {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

Funcția zeta poate fi considerată ca fiind determinantul soluției . Funcția zeta joacă un rol important în studiul sistemelor dinamice ; acesta este același tip general de funcție zeta ca și funcția zeta Riemann , cu toate acestea, în cazul teoriei Fredholm, nucleul corespunzător este necunoscut. Existența acestui nucleu este cunoscută sub numele de conjectura Hilbert-Poya .

Rezultate principale

Rezultatele clasice ale acestei teorii sunt teoremele Fredholm , dintre care una este alternativa Fredholm .

Unul dintre rezultatele importante ale teoriei generale este că nucleul indicat este un operator compact , unde spațiul funcțiilor este spațiul funcțiilor echicontinue .

Un rezultat conexe remarcabil este teorema indicelui , referitor la indicele operatorilor eliptici pe varietăți compacte .

Istorie

Articolul lui Fredholm din 1903 în Acta mathematica este una dintre cele mai importante repere în crearea teoriei operatorilor . David Hilbert a dezvoltat conceptul de spațiu Hilbert , inclusiv în legătură cu studiul ecuațiilor integrale Fredholm.

Link -uri

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365-390.
DE Edmunds și WD Evans (1987), Teoria spectrală și operatorii diferențiali, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), „Fredholm kernel”, în Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, „ Operatorii Compact și Fredholm și teorema spectrală ”, Instrumente de analiză cu aplicații , capitolul 35, pp. 579-600.
Robert C. McOwen, „ Teoria Fredholm a ecuațiilor diferențiale parțiale pe varietăți complete Riemanniene ”, Pacific J. Math. 87 , nr. 1 (1980), 169-185.

Literatură

Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.